Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Сумма десятичных логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{10} 8 + \log_{10} 125$.

1. 1
   Объединим сумму логарифмов с одинаковым основанием по свойству логарифма произведения.$$\log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10}(8 \cdot 125)$$
2. 2
   Вычислим произведение и значение десятичного логарифма.$$\log_{10}(8 \cdot 125) = \log_{10} 1000 = 3$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $(2 \cdot 10^2) \cdot (1{,}1 \cdot 10^{-2})$.

1. 1
   Перемножим коэффициенты и степени десяти:$$(2 \cdot 10^2) \cdot (1{,}1 \cdot 10^{-2}) = (2 \cdot 1{,}1) \cdot 10^{2 + (-2)}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение:$$2{,}2 \cdot 10^0 = 2{,}2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $2^6 \cdot \dfrac{2^{-2}}{2^2}$.

1. 1
   Объединим степени с основанием $2$, вычитая показатели в знаменателе:$$2^6 \cdot \dfrac{2^{-2}}{2^2} = 2^{6-2-2}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени и значение выражения:$$2^{6-2-2} = 2^2 = 4$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\left(3\frac{4}{5}-2{,}4\right)\cdot2\frac{1}{7}$.

1. 1
   Преобразуем смешанные числа и вычислим разность в скобках.$$3\frac{4}{5}-2{,}4=3{,}8-2{,}4=1{,}4=\frac{7}{5}$$
2. 2
   Представим второе смешанное число в виде неправильной дроби и выполним умножение.$$\frac{7}{5}\cdot2\frac{1}{7}=\frac{7}{5}\cdot\frac{15}{7}=3$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{7^{-9}\cdot 7^3}{7^{-8}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{7^{-9}\cdot 7^3}{7^{-8}}=7^{-9+3-(-8)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени и значение выражения:$$7^{-9+3+8}=7^2=49$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_{2}(\log_{4}16)$.

1. 1
   Вычислим внутренний логарифм:$$\log_{4}16=2$$
2. 2
   Подставим полученное значение во внешнюю часть выражения:$$\log_{2}(\log_{4}16)=\log_{2}2=1$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}3}{1 + \dfrac{1}{4}}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель дроби.$$1 + \dfrac{1}{4} = 1{,}25$$
2. 2
   Разделим числитель на полученный знаменатель.$$\dfrac{1{,}3}{1{,}25} = 1{,}04$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{162}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Объединим корни в один, разделив подкоренные выражения:$$\dfrac{\sqrt{162}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{162}{2}}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{\dfrac{162}{2}} = \sqrt{81} = 9$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{18}{11} : \dfrac{9}{22} + 2{,}7$.

1. 1
   Заменяем деление на дробь умножением на обратную дробь:$$\dfrac{18}{11} : \dfrac{9}{22} = \dfrac{18}{11} \cdot \dfrac{22}{9}$$
2. 2
   Сокращаем дробь и вычисляем частное:$$\dfrac{18}{11} \cdot \dfrac{22}{9} = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{8^3}{4^3}:2^2$.

1. 1
   Используем свойство деления степеней с одинаковыми показателями:$$\dfrac{8^3}{4^3}=\left(\dfrac{8}{4}\right)^3=2^3$$
2. 2
   Делим степени с одинаковым основанием:$$2^3:2^2=2^{3-2}=2$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{2 \cdot 55}}{\sqrt{22 \cdot 5}}$.

1. 1
   Вычислим подкоренные выражения:$$2 \cdot 55 = 110, \qquad 22 \cdot 5 = 110$$
2. 2
   Числитель и знаменатель дроби одинаковы:$$\dfrac{\sqrt{110}}{\sqrt{110}} = 1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $4^{-3} \cdot \dfrac{4^6}{4^2}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием.$$4^{-3} \cdot \dfrac{4^6}{4^2} = 4^{-3+6-2}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени и значение выражения.$$4^{-3+6-2} = 4^1 = 4$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_2\left(\log_3 9 + 6\right)$.

1. 1
   Вычислим внутренний логарифм:$$\log_3 9 = 2$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\log_2(\log_3 9+6)=\log_2(2+6)=\log_2 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{14^9}{2^7 \cdot 7^8}$.

1. 1
   Разложим основание степени $14$ на множители:$$14^9 = (2 \cdot 7)^9 = 2^9 \cdot 7^9$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим степени с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{14^9}{2^7 \cdot 7^8} = \dfrac{2^9 \cdot 7^9}{2^7 \cdot 7^8} = 2^{9-7} \cdot 7^{9-8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_6 4{,}5 + \log_6 48$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковыми основаниями:$$\log_6 4{,}5 + \log_6 48 = \log_6(4{,}5 \cdot 48)$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком логарифма:$$4{,}5 \cdot 48 = 216$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $7 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1$.

1. 1
   Вычислим степени десяти:$$10^3 = 1000, \quad 10^2 = 100, \quad 10^1 = 10$$
2. 2
   Подставим значения и выполним умножение:$$7 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 = 7000 + 200 + 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{7\cdot 22}}{\sqrt{11\cdot 14}}$.

1. 1
   Вычислим произведения под знаками корней:$$7\cdot 22=154,\qquad 11\cdot 14=154$$
2. 2
   Подкоренные выражения одинаковы, поэтому дробь равна единице:$$\dfrac{\sqrt{7\cdot 22}}{\sqrt{11\cdot 14}}=\dfrac{\sqrt{154}}{\sqrt{154}}=1$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $3{,}2 \cdot 2 + 1{,}1$.

1. 1
   Сначала выполняем умножение:$$3{,}2 \cdot 2 = 6{,}4$$
2. 2
   Затем прибавляем $1{,}1$:$$6{,}4 + 1{,}1 = 7{,}5$$

Сумма логарифмов по основанию 4

Найдите значение выражения $\log_{4} 2 + \log_{4} 32$.

1. 1
   Представим основание и аргументы как степени числа $2$:$$4 = 2^2,\quad 2 = 2^1,\quad 32 = 2^5$$
2. 2
   Вычислим логарифмы:$$\log_{4}2 = \frac{1}{2},\quad \log_{4}32 = \frac{5}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{245}}{7\sqrt{5}}$.

1. 1
   Разложим число под корнем на множители:$$245=49\cdot5$$
2. 2
   Упростим квадратный корень:$$\sqrt{245}=\sqrt{49\cdot5}=7\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении