Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{2}256 - \log_{2}4$.

1. 1
   Представим аргументы логарифмов в виде степеней основания $2$:$$256=2^8,\quad 4=2^2$$
2. 2
   Применим определение логарифма и вычислим разность:$$\log_2 256-\log_2 4=8-2=6$$

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{10}}{2^{11}}$.

1. 1
   Представим число $4$ как степень двойки:$$4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{4^{10}}{2^{11}} = \dfrac{2^{20}}{2^{11}} = 2^9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^7}{2^5 \cdot 2}$.

1. 1
   Представим число $2$ в знаменателе как степень $2^1$ и объединим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{2^7}{2^5 \cdot 2} = \dfrac{2^7}{2^5 \cdot 2^1}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$2^{7-5-1} = 2^1 = 2$$

Вычисление значения выражения

Найдите значение выражения $3\dfrac{1}{25} - 1{,}2 \cdot \dfrac{2}{5}$.

1. 1
   Преобразуем смешанное число в десятичную дробь:$$3\dfrac{1}{25}=3+\dfrac{1}{25}=3+0{,}04=3{,}04$$
2. 2
   Вычислим произведение:$$1{,}2\cdot\dfrac{2}{5}=1{,}2\cdot0{,}4=0{,}48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_2(\log_5 25)$.

1. 1
   Представим число $25$ как степень числа $5$ и вычислим внутренний логарифм.$$\log_5 25 = \log_5(5^2) = 2$$
2. 2
   Подставим найденное значение во внешний логарифм.$$\log_2(\log_5 25) = \log_2 2 = 1$$

Сумма логарифмов по основанию 6

Найдите значение выражения $\log_{6} 3 + \log_{6} 12$.

1. 1
   Объединим сумму логарифмов с одинаковым основанием в один логарифм:$$\log_{6} 3 + \log_{6} 12 = \log_{6}(3 \cdot 12)$$
2. 2
   Вычислим произведение и представим его как степень числа 6:$$\log_{6}36 = \log_{6}(6^2) = 2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $7 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1$.

1. 1
   Вычислим степени десяти:$$10^3 = 1000,\quad 10^2 = 100,\quad 10^1 = 10$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение:$$7 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + 3 \cdot 10 = 7000 + 900 + 30 = 7930$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}6}{1 + \dfrac{1}{9}}$.

1. 1
   Вычислим знаменатель выражения.$$1 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9}$$
2. 2
   Заменим деление умножением на обратную дробь и выполним вычисления.$$\dfrac{1{,}6}{\frac{10}{9}} = 1{,}6 \cdot \dfrac{9}{10} = 1{,}44$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $4^{3\log_4 2}$.

1. 1
   Преобразуем показатель степени:$$4^{3\log_4 2}=(4^{\log_4 2})^3$$
2. 2
   По свойству $a^{\log_a b}=b$ получаем:$$(4^{\log_4 2})^3=2^3=8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\left(7{,}2 \cdot 10^2\right) : \left(1{,}2 \cdot 10^{-3}\right)$.

1. 1
   Разделим числовые множители и степени десяти:$$\left(7{,}2 \cdot 10^2\right) : \left(1{,}2 \cdot 10^{-3}\right) = \dfrac{7{,}2}{1{,}2} \cdot 10^{2-(-3)}$$
2. 2
   Вычислим частное числовых множителей и показатель степени:$$\dfrac{7{,}2}{1{,}2} \cdot 10^5 = 6 \cdot 10^5 = 600000$$

Степени с целыми показателями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{-8} \cdot 2^6}{2^{-6}}$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{2^{-8} \cdot 2^6}{2^{-6}} = 2^{-8+6-(-6)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени и значение выражения.$$2^{-8+6+6} = 2^4 = 16$$

Значение показательного выражения

Найдите значение выражения $2^{\log_2 7-2}$.

1. 1
   Разделим степень с разностью показателей на дробь:$$2^{\log_2 7-2}=\frac{2^{\log_2 7}}{2^2}$$
2. 2
   По определению логарифма $2^{\log_2 7}=7$.$$\frac{2^{\log_2 7}}{2^2}=\frac{7}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(-10)^5 + (-10)^3 + (-10)^2$.

1. 1
   Вычислим степени числа $-10$.$$(-10)^5=-100000,\quad (-10)^3=-1000,\quad (-10)^2=100$$
2. 2
   Сложим полученные значения.$$-100000-1000+100=-100900$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{9{,}2 - 9{,}2}{5{,}9}$.

1. 1
   Вычислим числитель дроби: разность одинаковых чисел равна нулю.$$9{,}2 - 9{,}2 = 0$$
2. 2
   Разделим ноль на ненулевое число.$$\dfrac{0}{5{,}9} = 0$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $4 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1$.

1. 1
   Вычислим степени десяти и умножим на соответствующие коэффициенты.$$4 \cdot 10^3 = 4000,\quad 7 \cdot 10^2 = 700,\quad 8 \cdot 10^1 = 80$$
2. 2
   Сложим полученные значения.$$4000 + 700 + 80 = 4780$$

Разность квадратов с корнем

Найдите значение выражения $(\sqrt{17}+4)(\sqrt{17}-4)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов:$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$(\sqrt{17}+4)(\sqrt{17}-4)=(\sqrt{17})^2-4^2=17-16=1$$

Значение разности логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{5}125 - \log_{5}5$.

1. 1
   Представим числа под знаками логарифмов как степени основания $5$.$$125 = 5^3,\quad 5 = 5^1$$
2. 2
   Вычислим логарифмы и найдём их разность.$$\log_5 125 - \log_5 5 = 3 - 1 = 2$$

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(3 \cdot 10^{-3}) \cdot (2{,}1 \cdot 10^3)$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и степени десяти:$$(3 \cdot 10^{-3}) \cdot (2{,}1 \cdot 10^3) = (3 \cdot 2{,}1) \cdot (10^{-3} \cdot 10^3)$$
2. 2
   Степени десяти с противоположными показателями дают единицу:$$10^{-3} \cdot 10^3 = 10^0 = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение показательного выражения

Найдите значение выражения $2^{3\log_2 7}$.

1. 1
   Преобразуем показатель степени по свойству логарифма:$$3\log_2 7=\log_2 7^3$$
2. 2
   Применяем равенство $a^{\log_a b}=b$:$$2^{3\log_2 7}=2^{\log_2 7^3}=7^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение логарифма с корнем

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt{3}}(3^4)$.

1. 1
   Представим основание логарифма в виде степени числа $3$:$$\sqrt{3}=3^{1/2}$$
2. 2
   Применим свойство логарифма степени:$$\log_{3^{1/2}}(3^4)=\frac{4}{1/2}=8$$