Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического:$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{1/3} + \frac{1}{1/6} + \frac{1}{1}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и среднее арифметическое:$$h = \left(\dfrac{3 + 6 + 1}{3}\right)^{-1} = \left(\dfrac{10}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{10}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 12, 18, 27.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{12 \cdot 18 \cdot 27}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня:$$12 \cdot 18 \cdot 27 = 5832$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 8, 9, 81.

1. 1
   Подставим числа 8, 9 и 81 в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{8 \cdot 9 \cdot 81}$$
2. 2
   Вычислим произведение и найдём его кубический корень.$$g = \sqrt[3]{5832} = 18$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 4, 8, 16.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{4 \cdot 8 \cdot 16}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня.$$4 \cdot 8 \cdot 16 = 512$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 4, 27.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 27}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень:$$g = \sqrt[3]{216} = 6$$

Площадь треугольника по радиусу

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу площади:$$S = \dfrac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot \frac{65}{6}}$$
2. 2
   Выполним вычисления и сократим дробь:$$S = \dfrac{2860}{\frac{130}{3}} = \dfrac{2860 \cdot 3}{130} = 66$$

Среднее геометрическое трёх чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 8, 32.

1. 1
   Подставим числа 2, 8 и 32 в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{2 \cdot 8 \cdot 32}$$
2. 2
   Вычислим произведение под корнем.$$2 \cdot 8 \cdot 32 = 512$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим в формулу значения ускорения свободного падения и высоты:$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 10}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем и извлечём арифметический квадратный корень:$$v = \sqrt{196} = 14$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 7, 14 и 28.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{7 \cdot 14 \cdot 28}$$
2. 2
   Вычислим произведение:$$7 \cdot 14 \cdot 28 = 2744$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 3, 9 и 27.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{3 \cdot 9 \cdot 27}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{729} = 9$$

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{7^3}{7^5 \cdot 7^{-4}}$.

1. 1
   Преобразуем произведение степеней в знаменателе:$$7^5 \cdot 7^{-4} = 7^{5+(-4)} = 7$$
2. 2
   Вычисляем значение выражения:$$\dfrac{7^3}{7} = 7^2 = 49$$

Степенная функция и логарифм

Найдите значение выражения $4^{-2\log_4 5}$.

1. 1
   Преобразуем степень, используя свойство степеней:$$4^{-2\log_4 5}=\left(4^{\log_4 5}\right)^{-2}$$
2. 2
   По определению логарифма $4^{\log_4 5}=5$.$$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{8\sqrt{243}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Разложим подкоренное выражение и выделим полный квадрат:$$243=81\cdot3$$
2. 2
   Преобразуем корень и сократим множитель $\sqrt{3}$:$$\dfrac{8\sqrt{243}}{\sqrt{3}}=\dfrac{8\sqrt{81}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\cdot9=72$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{2}$, $8$ и $9$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{2})^2+8^2+9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел:$$(\sqrt{2})^2+8^2+9^2=2+64+81=147$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{11}$, $4$ и $9$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{11})^2+4^2+9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$q = \sqrt{\dfrac{11+16+81}{3}} = \sqrt{36}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 4, 18, 81.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{4 \cdot 18 \cdot 81}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень:$$g = \sqrt[3]{5832} = 18$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{4}$…

1. 1
   Находим обратные величины заданных чисел:$$\frac{1}{\frac{1}{4}}=4,\quad \frac{1}{\frac{1}{25}}=25,\quad \frac{1}{1}=1$$
2. 2
   Подставляем их в формулу среднего гармонического:$$h=\left(\frac{4+25+1}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{30}{3}\right)^{-1}=10^{-1}=0.1$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 8, 16, 32.

1. 1
   Подставим числа 8, 16 и 32 в формулу среднего геометрического.$$g = \sqrt[3]{8 \cdot 16 \cdot 32}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень.$$g = \sqrt[3]{4096} = \sqrt[3]{16^3} = 16$$

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если…

1. 1
   Подставим в формулу значения $I = 5{,}5$ и $R = 16$:$$P = 5{,}5^2 \cdot 16$$
2. 2
   Вычислим квадрат силы тока и умножим на сопротивление:$$P = 30{,}25 \cdot 16 = 484$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 6…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{6+25+29}{2} = 30$$
2. 2
   По формуле Герона вычислим площадь:$$S = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении