Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Число с делимой суммой цифр

Найдите трёхзначное число $A$, обладающее двумя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 7; сумма цифр числа $A+4$ делится на 7. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число $A$.

1. 1
   Рассмотрим число $A=696$. Найдём сумму его цифр:$$6+9+6=21$$
2. 2
   Число $21$ делится на $7$ без остатка.

Ещё 2 шага — в полном решении

Удаление цифр для делимости

В числе 89767581 вычеркните три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. Запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число должно делиться на 18, то есть одновременно делиться на 2 и на 9.
2. 2
   Оставим в исходном числе цифры 8, 7, 6, 7, 8 в исходном порядке. Вычеркнем цифры 9, 5 и 1.$$89767581 \to 87678$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Поиск числа по условиям

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других…

1. 1
   Число больше 400, поэтому его первая цифра может быть равна $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ или $9$. Последняя цифра должна быть средним арифметическим двух первых цифр.$$c=\dfrac{a+b}{2}$$
2. 2
   Остаток при делении на $5$ равен последней цифре числа и должен быть ненулевым. Подберём цифры $4$, $2$, $3$: последняя цифра является средним арифметическим двух других.$$3=\dfrac{4+2}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число по условиям делимости

Найдите натуральное число, большее 1450, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 12. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число 1560: оно больше 1450 и меньше 2000.$$1450 < 1560 < 2000$$
2. 2
   Проверим делимость числа на 24.$$1560 = 24 \cdot 65$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 45

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения.

1. 1
   Пусть цифры искомого числа — $a$, $b$, $c$, $d$. По условию произведение цифр на 1 больше их суммы:$$abcd=a+b+c+d+1$$
2. 2
   Число должно делиться на $5$, поэтому его последняя цифра равна $0$ или $5$. Последняя цифра не может быть равна $0$, поскольку тогда произведение цифр равно $0$, а сумма цифр не может быть равна $-1$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Переворот цифр числа

Цифры четырёхзначного натурального числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 3627. Укажите какое-нибудь…

1. 1
   Так как исходное число кратно 5, его последняя цифра равна 0 или 5. После разворота число должно остаться четырёхзначным, поэтому последняя цифра исходного числа не может быть 0. Значит, число оканчивается цифрой 5.
2. 2
   Подберём четырёхзначное число, оканчивающееся цифрой 5, чтобы разность с числом, записанным в обратном порядке, была равна 3627.$$8705 - 5078 = 3627$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма делителей числа 102

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   В разложении числа $102$ на различные простые множители имеем $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 17$.$$102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2 + 1)(3 + 1)(17 + 1) = 3 \cdot 4 \cdot 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число с делимостью суммы цифр

Найдите трёхзначное число $A$, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 5; сумма цифр числа $A+3$ делится на 5; число $A$ больше 700 и меньше 900.

1. 1
   Ищем трёхзначное число в диапазоне от 701 до 899, у которого сумма цифр кратна 5.
2. 2
   Проверим число $A=799$: сумма его цифр равна$$7+9+9=25$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 352, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Первая страница после выпавших листов должна быть больше 352 и состоять из тех же цифр. Возможные варианты: 523 и 532.
2. 2
   Число выпавших страниц на единицу меньше разности между первой страницей после пропуска и последней страницей перед ним. Оно должно быть чётным.$$523 - 352 - 1 = 170$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наименьшее число, кратное 55

Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.

1. 1
   Так как $55 = 5 \cdot 11$, искомое число должно делиться и на $5$, и на $11$. Поэтому его последняя цифра равна $0$ или $5$.
2. 2
   Перебираем пятизначные числа по возрастанию, проверяя признак делимости на $11$ и произведение цифр. Первым подходящим числом оказывается $11275$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее число без девятки

Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 3.

1. 1
   Наибольшая допустимая цифра — $8$, так как цифру $9$ использовать нельзя. Поэтому наибольшее возможное трёхзначное число без цифры $9$ — $888$.
2. 2
   Проверим делимость на $3$ по сумме цифр:$$8+8+8=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее число из одинаковых цифр

Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 21.

1. 1
   Трёхзначные числа, записанные одинаковыми цифрами, расположенные в порядке убывания: $999$, $888$, $777$ и далее.
2. 2
   Проверим первое подходящее число:$$777 = 21 \cdot 37$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 4536. Запишите какое-нибудь одно такое…

1. 1
   Пусть исходное число имеет цифры $a$, $b$, $c$, $d$. Так как число кратно 5 и является четырёхзначным после разворота, его последняя цифра должна быть $5$.$$d=5$$
2. 2
   Разность исходного числа и числа с переставленными в обратном порядке цифрами равна 4536.$$(1000a+100b+10c+5)-(5000+100c+10b+a)=4536$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 26583542 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 15, должно делиться на 3 и на 5. Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5. В данном случае удобно оставить последней цифрой 5.
2. 2
   Оставим в исходном числе цифры 6, 5, 8, 3, 5, вычеркнув первую цифру 2, цифру 4 и последнюю цифру 2. Получим число 65835.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на простые множители:$$2097 = 3 \cdot 699 = 3 \cdot 3 \cdot 233$$
2. 2
   Так как цифры отметок выписаны подряд, подходящая последовательность отметок — $2, 3, 3, 3, 3$: из неё можно получить числа $233$, $3$ и $3$, произведение которых равно 2097.$$233 \cdot 3 \cdot 3 = 2097$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 372, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Из цифр 3, 7 и 2 составляем числа, большие 372. Возможные варианты — 723 и 732.
2. 2
   Число выпавших страниц должно быть чётным. Для числа 723 получаем $723 - 372 - 1 = 350$ страниц, что соответствует целому числу листов.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сумма делителей числа

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа $42=2 \cdot 3 \cdot 7$.

1. 1
   Разложим число $42$ на произведение различных простых чисел:$$42=2\cdot3\cdot7$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу:$$(2+1)(3+1)(7+1)=3\cdot4\cdot8=96$$

Четырёхзначное число кратное 25

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечётны.

1. 1
   Число, кратное 25, должно оканчиваться на $00$, $25$, $50$ или $75$.
2. 2
   Так как все цифры должны быть нечётными, последние две цифры могут быть только $25$ или $75$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число с равенством

Найдите чётное четырёхзначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $1124$. Оно является четырёхзначным натуральным числом и оканчивается цифрой $4$, поэтому является чётным.
2. 2
   Вычислим сумму его цифр:$$1+1+2+4=8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число, кратное 24

Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 2500, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 18. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число должно быть четырёхзначным, больше 2000 и меньше 2500. Подберём число с суммой цифр 18 и проверим делимость на 24.
2. 2
   Рассмотрим число $2448$. Его сумма цифр равна 18:$$2+4+4+8=18$$

Ещё 2 шага — в полном решении