Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Логика и таблицы» — с ответами

Обозначим возраст Кати через $K$. Тогда Маша старше Кати на два года:$$M = K + 2$$

Алиса старше Маши на один год:$$A = M + 1 = K + 3$$

По условию существуют жители, которые одновременно учатся и работают. Следовательно, хотя бы один работающий житель учится.

Из существования жителей, которые одновременно учатся и работают, также следует, что хотя бы один житель дома работает.

Уроки географии проходят два раза в неделю: по понедельникам и четвергам. Атлас нужно приносить на каждый из этих уроков.

Утверждение 1 верно: в понедельник проходит урок географии, поэтому Маше нужно принести атлас.

Обозначим событие «какая-нибудь кошка идёт по забору» через $A$, а событие «Бим лает» через $B$. Условие означает: если происходит $A$, то обязательно происходит $B$.$$A \Rightarrow B$$

Утверждение 1 является противоположным по форме следствием исходного условия: если Бим молчит, то кошка по забору не идёт.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$

Вычислим температуру в Архангельске: она на $4\,^\circ\mathrm{C}$ ниже московской.$$t_{\text{Арх}}=3-4=-1\, ^\circ\mathrm{C}$$

Вычислим температуру в Махачкале: она на $3\,^\circ\mathrm{C}$ выше московской.$$t_{\text{Мах}}=3+3=6\, ^\circ\mathrm{C}$$

Отбираем учащихся, у которых балл по математике меньше 75: 1, 2, 3, 5, 6 и 8.

Проверяем условие получения грамоты. У учащегося 1 сумма равна 107 — грамота не положена. У учащихся 2 и 3 суммы равны 146 и 150 — они получают грамоты. У учащегося 5 сумма равна 89 — грамота не положена. У учащегося 6 сумма равна 99…

Обозначим: $A$ — по двору идёт какая-нибудь кошка, $B$ — Шарик лает. По условию верно $A \Rightarrow B$.

Утверждение 2 является контрапозицией данного условия: если Шарик не лает, то кошка по двору не идёт. Следовательно, оно верно.

Пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими социальными сетями. Так как всего в компании 40 человек, объединение множеств пользователей не может превышать 40:$$25 + 20 - x \leq 40$$

Отсюда получаем нижнюю границу числа пользователей обеих сетей:$$x \geq 5$$

По условию, если в доме больше 12 этажей, то в нём установлены электрические плиты, а газовые плиты не устанавливаются.

Утверждение 1 верно: если газовые плиты установлены, то этажей не больше 12, то есть меньше 13.

По условию длина каждой рыбки больше 3 см. Поэтому утверждение 1 неверно: рыбок длиной меньше 3 см нет.$$l > 3$$

Длина каждой рыбки не превышает 13 см, поэтому рыбки длиной 14 см в аквариуме быть не может. Утверждение 2 верно.$$l \leq 13$$

По условию некоторые учащиеся съели булочку, а некоторые получат сочник. Среди получающих сочник нет тех, кто съел булочку, поэтому эти две группы не пересекаются.$$A \cap B = \varnothing$$

Так как группа съевших булочку непуста и не пересекается с группой получающих сочник, каждый учащийся из первой группы не получит сочник. Значит, утверждения 3 и 4 верны.

Пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими сетями. Так как всего пользователей «ВКонтакте» 10, пересечение не может содержать больше 10 человек.$$x \leq 10$$

Число людей, пользующихся хотя бы одной сетью, равно $18 + 10 - x$. Оно не превосходит общего числа людей в компании.$$18 + 10 - x \leq 26$$

По условию рост каждого игрока удовлетворяет неравенству $180 < h < 195$.

Утверждение 1 неверно: из условия не следует наличие игрока ростом $200$ см; более того, такой рост невозможен.

По условию среди жителей дома есть те, кто работает. Значит, утверждение 1 верно.

Некоторые жители одновременно учатся и работают. Следовательно, среди работающих жителей есть хотя бы один учащийся, поэтому утверждение 2 верно.

По условию некоторые дачники выращивают виноград и одновременно груши. Следовательно, такой дачник существует, поэтому утверждение 1 верно.

Так как существуют дачники, выращивающие виноград, среди дачников посёлка есть те, кто выращивает виноград. Утверждение 2 верно.

Обозначим через $A$ множество сотрудников, ездивших на курсы в Пятигорск, а через $B$ — множество сотрудников, поехавших на стажировку в Волгоград. По условию множества не пересекаются: $A \cap B = \varnothing$.$$A \cap B = \varnothing$$

Сотрудники из множества $A$ не входят в множество $B$, поэтому они не поедут на стажировку в Волгоград. Так как множество $A$ непусто, среди не поехавших на стажировку есть хотя бы один посетивший курсы. Верно утверждение 2.

Рассмотрим учащихся, набравших меньше 80 баллов по географии: это ученики 2, 3, 4, 5, 7 и 8.

Проверим условие получения грамоты для этих учащихся. У ученика 2 по биологии 84 балла, у ученика 5 — 93 балла, у ученика 7 — 81 балл. Во всех трёх случаях хотя бы по одному предмету набрано не меньше 80 баллов.

Обозначим: $A$ — по забору идёт кошка, $B$ — Полкан лает. Условие утверждает импликацию $A \Rightarrow B$.

Утверждение 1 неверно: из лая или молчания нельзя заключить, что кошка идёт по забору.

Из первого условия следует, что среди школьников из Твери есть зарегистрированные во «ВКонтакте». Поэтому утверждение 3 верно, а утверждение 2 неверно.

Из второго условия следует, что существует школьник из Твери, зарегистрированный в «Одноклассниках». Поэтому утверждение 4 верно.

Обозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок по истории, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок по математике.

Минимальное число учеников, посещающих оба кружка, равно $|A \cap B| \geq 13 + 10 - 18 = 5$. Следовательно, таких учеников гарантированно найдётся хотя бы трое. Утверждение 2 верно.$$|A \cap B| \geq |A| + |B| - 18 = 13 + 10 - 18 = 5$$