Марусе на день рождения подарили 20 шариков, 13 из которых красные, а остальные синие. Маруся на четырёх случайных шариках нарисовала рисунки маркером, чтобы подарить маме, папе, брату и сестре…
- 1
Определим количество синих шариков:$$20 - 13 = 7$$
- 2
Рисунки есть только на четырёх шариках, поэтому красных шариков с рисунками не может быть 6. Утверждение 1 неверно.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Если спортсмен, участвующий в Олимпийских играх, установил мировой рекорд, то его результат является и олимпийским рекордом.
- 1
Обозначим: $A$ — результат является мировым рекордом, $B$ — результат является олимпийским рекордом. Условие задаёт импликацию $A \Rightarrow B$.$$A \Rightarrow B$$
- 2
Утверждение 1 является контрапозицией исходного: если результат не является олимпийским рекордом, то он не является мировым рекордом. Это верно.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Когда какая-нибудь кошка идёт по забору, пёс Шарик, живущий в будке возле дома, обязательно лает.
- 1
Обозначим: $A$ — по забору идёт кошка, $B$ — Шарик лает. Условие задаёт импликацию $A \Rightarrow B$.$$A \Rightarrow B$$
- 2
Противопоставленное утверждение также верно: если Шарик не лает, то кошка по забору не идёт. Поэтому утверждение 2 верно.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Кондитер испёк 40 печений, из них 10 печений он посыпал корицей, а 20 печений посыпал сахаром. Кондитер может посыпать одно печенье и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпать.
- 1
Печений, посыпанных и сахаром, и корицей, не может быть больше, чем печений, посыпанных корицей. Таких печений всего 10.$$|Сахар \cap Корица| \leq 10$$
- 2
Максимальное число печений, посыпанных хотя бы одной из посыпок, равно 20 + 10 = 30, если общих печений нет. Поэтому ничем не посыпанными могут быть от 10 до 20 печений. Число 9 невозможно.$$40 - |Сахар \cup Корица| \geq 40 - 30 = 10$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Тане на день рождения подарили 15 шариков, 8 из которых жёлтые, а остальные зелёные. Таня хочет на трёх шариках нарисовать рисунки маркером, чтобы подарить маме, папе и брату. Выберите все…
- 1
Зелёных шариков 15 - 8 = 7, а рисунков всего 3.$$15 - 8 = 7$$
- 2
На зелёных шариках может быть не более трёх рисунков, значит без рисунков останутся как минимум 7 - 3 = 4 зелёных шарика. Следовательно, утверждение 3 верно.$$7 - 3 = 4 \geq 2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Кондитер испёк 40 печений, из них 10 штук он посыпал корицей, а 20 штук посыпал сахаром. Кондитер может посыпать одно печенье и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпать. Выберите все…
- 1
Пусть $x$ — число печений, посыпанных одновременно сахаром и корицей. Так как корицей посыпано 10 печений, а сахаром — 20, пересечение множеств не может содержать больше 10 печений: $0 \leq x \leq 10$.$$0 \leq x \leq 10$$
- 2
Число печений, посыпанных хотя бы чем-то, равно $10+20-x=30-x$. Поэтому число печений без посыпки равно $40-(30-x)=10+x$, то есть находится в диапазоне от 10 до 20. Утверждение 1 неверно.$$40-(10+20-x)=10+x$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В зоомагазине в один из аквариумов запустили 20 рыбок. Длина каждой рыбки больше 3 см, но не превышает 13 см. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
По условию длина каждой рыбки больше 3 см и не превышает 13 см: $3 < l \leq 13$.
- 2
Утверждение 1 қате: рыбок длиной меньше 3 см в аквариуме нет.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В посёлке городского типа всего 17 жилых домов. Высота каждого дома меньше 25 метров, но не меньше 5 метров. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
По условию высота каждого жилого дома не меньше 5 метров и меньше 25 метров.$$5 \leq h < 25$$
- 2
Утверждение 1 дұрыс: если высота дома не меньше 5 метров, то она обязательно не меньше 3 метров.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Некоторые учащиеся 11-х классов школы ходили в октябре на спектакль «Вишнёвый сад». В декабре некоторые одиннадцатиклассники этой школы пойдут на постановку по пьесе «Три сестры», причём среди них…
- 1
Обозначим через $A$ множество учащихся, которые ходили на спектакль «Вишнёвый сад», а через $B$ — множество учащихся, которые пойдут на постановку «Три сестры».
- 2
По условию среди участников постановки «Три сестры» нет тех, кто ходил на спектакль «Вишнёвый сад». Следовательно, множества не пересекаются:$$A \cap B = \varnothing$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Некоторые учащиеся 10-х классов школы зимой ездили на экскурсию в Суздаль. Весной некоторые десятиклассники поедут в Кострому, причём среди них не будет тех, кто ездил зимой в Суздаль. Выберите все…
- 1
Пусть $S$ — множество учащихся, ездивших зимой в Суздаль, а $K$ — множество учащихся, которые весной поедут в Кострому. По условию среди поехавших в Кострому нет тех, кто ездил в Суздаль, поэтому $S \cap K = \varnothing$.$$S \cap K = \varnothing$$
- 2
Учащиеся из множества $S$ не входят в множество $K$, то есть не поедут в Кострому. Поскольку множество $S$ непусто, утверждение 1 верно.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Кондитер испёк 40 печений, из них 10 штук он посыпал корицей, а 20 штук посыпал сахаром. Кондитер может посыпать одно печенье и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпать. Выберите все…
- 1
Пусть $x$ — число печений, посыпанных одновременно сахаром и корицей. Поскольку корицей посыпаны 10 печений, число $x$ не может превышать 10.$$0 \leqslant x \leqslant 10$$
- 2
Число печений, посыпанных хотя бы чем-то, равно сумме количеств посыпанных сахаром и корицей минус число печений с двумя посыпками.$$20+10-x=30-x$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Когда учитель физики Николай Дмитриевич ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон. Выберите все утверждения, которые верны при приведённом условии.
- 1
Обозначим: A — Николай Дмитриевич ведёт урок физики; B — его телефон выключен. По условию верно A → B.$$A \Rightarrow B$$
- 2
Утверждение 1 является равносильной исходному условию формулировкой по закону противопоставления: если телефон включён, то урок физики не ведётся.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Вова старше Даши, но младше Егора. Алина не старше Вовы. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Из условия «Вова старше Даши, но младше Егора» получаем цепочку возрастов:$$Даша < Вова < Егор$$
- 2
Следовательно, Даша младше Егора, поэтому утверждение 2 дұрыс.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Некоторые учащиеся 10-х классов школы ходили в ноябре на оперу «Евгений Онегин». В марте некоторые десятиклассники этой школы пойдут на оперу «Руслан и Людмила», причём среди них не будет тех, кто…
- 1
Обозначим через $A$ множество учащихся, которые ходили на оперу «Евгений Онегин», а через $B$ — множество учащихся, которые пойдут на оперу «Руслан и Людмила». По условию оба множества непусты, и учащиеся из $A$ не входят в $B$.$$A \cap B = \varnothing$$
- 2
Утверждение 1 неверно: из условия не следует, что каждый учащийся, не входящий в $A$, обязательно входит в $B$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Среди дачников в посёлке есть те, кто выращивает виноград, и есть те, кто выращивает груши. Также есть те, кто не выращивает ни виноград, ни груши. Некоторые дачники, выращивающие виноград, также…
- 1
В условии сказано, что некоторые дачники, выращивающие виноград, выращивают также и груши. Значит, существует хотя бы один дачник, выращивающий обе культуры.
- 2
Следовательно, утверждение 1 верно. Так как этот дачник выращивает виноград, утверждение 3 о существовании дачников, выращивающих виноград, также верно.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Во дворе школы растёт всего три дерева: берёза, клён и дуб. Берёза ниже клёна на 1 метр, но выше дуба на 3 метра. Определите, какие из приведённых утверждений верны.
- 1
Берёза ниже клёна на 1 метр, значит клён выше берёзы.$$h_{\text{клёна}} > h_{\text{берёзы}}$$
- 2
Берёза выше дуба на 3 метра, значит берёза выше дуба.$$h_{\text{берёзы}} > h_{\text{дуба}}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Кондитер испёк 40 печений, из них 10 печений он посыпал корицей, а 20 печений посыпал сахаром. Кондитер может посыпать одно печенье и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпать. Выберите…
- 1
Печенья, посыпанные и сахаром, и корицей, образуют пересечение двух множеств. Это пересечение не может содержать больше печений, чем множество печений с корицей.$$|Сахар \cap Корица| \leq |Корица| = 10$$
- 2
Следовательно, утверждение 3 всегда дұрыс.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Маша младше Ани на год, но старше Ксюши на два года. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Маша младше Ани на год, поэтому Аня старше Маши.
- 2
Маша старше Ксюши на два года, поэтому Ксюша младше Маши.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Некоторые сотрудники фирмы летом 2025 года отдыхали в Крыму, а некоторые — в Сочи. Все сотрудники, которые отдыхали в Сочи, не отдыхали в Крыму.
- 1
По условию любой сотрудник, отдыхавший в Сочи, не отдыхал в Крыму. Следовательно, ни один сотрудник не отдыхал одновременно в обоих местах.$$Сочи \cap Крым = \varnothing$$
- 2
Так как некоторые сотрудники отдыхали в Крыму, а в Сочи они не отдыхали, среди сотрудников, не отдыхавших в Сочи, есть хотя бы один отдыхавший в Крыму.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что як тяжелее льва, медведь легче яка, а страус легче льва.
- 1
Обозначим массы животных: $m_{я}$ — масса яка, $m_{л}$ — масса льва, $m_{м}$ — масса медведя, $m_{с}$ — масса страуса.$$m_{я} > m_{л},\quad m_{м} < m_{я},\quad m_{с} < m_{л}$$
- 2
Так как $m_{с} < m_{л}$ и $m_{л} < m_{я}$, то страус легче яка: $m_{с} < m_{я}$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде