Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Сплавы и массовая доля

Имеется два сплава. Первый содержит 15 % никеля, второй — 45 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % никеля. Масса первого сплава равна 45 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение по массе никеля:$$0{,}15 \cdot 45 + 0{,}45x = 0{,}35(45+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и решим уравнение:$$6{,}75 + 0{,}45x = 15{,}75 + 0{,}35x;\quad 0{,}1x = 9;\quad x = 90$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 8 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик набрал 50 очков, составим уравнение:$$5x - 8y = 50$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x = 10 + \frac{8y}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Встреча автомобилей на трассе

Расстояние между городами A и B равно 290 км. Из города A в город B со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч…

1. 1
   За три часа до выезда второго автомобиля первый автомобиль проехал:$$55 \cdot 3 = 165\ \text{км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями оставалось:$$290 - 165 = 125\ \text{км}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Встреча на лесной дороге

Два человека одновременно отправляются из одного дома по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 1,5 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,4 км/ч, а второй — со скоростью 4,8 км/ч…

1. 1
   Найдём время, за которое второй человек дойдёт до опушки:$$t_1=\dfrac{1{,}5}{4{,}8}=0{,}3125\text{ ч}$$
2. 2
   За это время первый человек пройдёт:$$s_1=2{,}4\cdot0{,}3125=0{,}75\text{ км}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Расстояние от города A до места встречи равно разности общего расстояния и расстояния от города B до места встречи.$$s_A = 320 - 170 = 150\ \text{км}$$
2. 2
   Автомобиль проехал это расстояние за 2 часа, поэтому его скорость равна отношению расстояния ко времени.$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{150}{2} = 75\ \text{км/ч}$$

Ответы на вопросы викторины

Список заданий викторины состоял из 65 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных ответов, $z$ — число вопросов без ответа.$$x+y+z=65$$
2. 2
   По условию о набранных очках получаем уравнение:$$9x-17y=153$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Составление сплава

Имеется два сплава. Первый содержит 50 % никеля, второй — 15 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 25 % никеля. Масса первого сплава равна 50 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Масса никеля в исходных сплавах должна быть равна массе никеля в полученном сплаве.$$0{,}5 \cdot 50 + 0{,}15x = 0{,}25(50+x)$$
2. 2
   Решим уравнение.$$25+0{,}15x=12{,}5+0{,}25x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация смешанного раствора

Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося…

1. 1
   Пусть каждого раствора взяли по $x$ единиц объёма. Тогда количество вещества в первом растворе равно $0{,}13x$, а во втором — $0{,}19x$.$$m = 0{,}13x + 0{,}19x = 0{,}32x$$
2. 2
   Общий объём смеси равен $2x$, поэтому её концентрация составляет:$$\frac{0{,}32x}{2x} = 0{,}16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 70 км/ч, а затем 110 км — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём весь путь автомобиля.$$S = 100 + 180 + 110 = 390\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке и сложим его.$$t = \dfrac{100}{50} + \dfrac{180}{70} + \dfrac{110}{110} = 2 + \dfrac{18}{7} + 1 = \dfrac{39}{7}\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сплавы с разным содержанием никеля

Имеется два сплава. Первый содержит 45% никеля, второй — 5% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 15% никеля. Масса первого сплава равна 40 кг. На сколько килограммов масса…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса полученного сплава равна $40+x$ кг.$$x \text{ кг}$$
2. 2
   Составим уравнение по массе никеля в сплавах.$$0{,}45 \cdot 40 + 0{,}05x = 0{,}15(40+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Неверные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 75 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число неверных ответов. Ответов без ошибки не было на 6 вопросов, поэтому число правильных ответов равно $75-6-x=69-x$.$$n_{\text{правильных}}=69-x$$
2. 2
   Составим уравнение для общего количества очков: за правильные ответы начислено $9(69-x)$ очков, за неверные списано $17x$ очков.$$9(69-x)-17x=153$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 140 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём время движения на каждом участке пути:$$t_1 = \dfrac{120}{60} = 2,\quad t_2 = \dfrac{140}{80} = 1{,}75,\quad t_3 = \dfrac{150}{120} = 1{,}25$$
2. 2
   Общее время движения составляет:$$t = 2 + 1{,}75 + 1{,}25 = 5\text{ ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 160 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общий путь автомобиля:$$S = 120 + 200 + 160 = 480\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке и сложим его:$$t = \dfrac{120}{60} + \dfrac{200}{100} + \dfrac{160}{120} = 2 + 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3}\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 45 минут, второй — за 55 минут, а третий — за 1 час 6 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы третьего насоса в минуты: 1 час 6 минут = 66 минут.
2. 2
   Производительности насосов равны $\dfrac{1}{45}$, $\dfrac{1}{55}$ и $\dfrac{1}{66}$ бака в минуту.

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 110 км — со скоростью 110 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общий путь автомобиля:$$S = 140 + 110 + 150 = 400\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём время движения на каждом участке и общее время:$$t = \dfrac{140}{80} + \dfrac{110}{110} + \dfrac{150}{120} = 1{,}75 + 1 + 1{,}25 = 4\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 510 км. Из города A в город B со скоростью 70 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B со скоростью 80 км/ч выехал…

1. 1
   За три часа до выезда второго автомобиля первый автомобиль проехал:$$70 \cdot 3 = 210\text{ км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями осталось:$$510 - 210 = 300\text{ км}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 12 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 276 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Обозначим расстояние между пунктами через $s$ км. Тогда время плавания на яхте равно $\dfrac{s}{12}$ ч, а время полёта на самолёте — $\dfrac{s}{276}$ ч.$$t = \dfrac{s}{12} + \dfrac{s}{276}$$
2. 2
   Общее расстояние равно $2s$ км. Средняя скорость — это отношение общего расстояния ко всему времени.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\frac{s}{12} + \frac{s}{276}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча двух автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 250 км. Из города A в город B со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 85 км/ч…

1. 1
   За два часа до выезда второго автомобиля первый автомобиль проехал:$$55 \cdot 2 = 110\text{ км}$$
2. 2
   После выезда второго автомобиля расстояние между автомобилями составляет:$$250 - 110 = 140\text{ км}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали 3 литра 5-процентного раствора вещества с 4 литрами 40-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём объём вещества в каждом из растворов:$$V_1 = 3 \cdot 0{,}05 = 0{,}15\text{ л},\quad V_2 = 4 \cdot 0{,}40 = 1{,}6\text{ л}$$
2. 2
   Объём вещества в получившемся растворе равен сумме объёмов вещества в исходных растворах:$$V_{\text{вещества}} = 0{,}15 + 1{,}6 = 1{,}75\text{ л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 12 вопросов теста, а Ваня — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 90 минут…

1. 1
   Пусть $x$ — количество вопросов в тесте. Тогда Петя выполняет тест за $\dfrac{x}{12}$ часа, а Ваня — за $\dfrac{x}{20}$ часа.$$t_{\text{П}}=\dfrac{x}{12},\quad t_{\text{В}}=\dfrac{x}{20}$$
2. 2
   Петя затратил на выполнение теста на $90$ минут, то есть на $1{,}5$ часа, больше, чем Ваня.$$\dfrac{x}{12}-\dfrac{x}{20}=1{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении