Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $4>1$, функция $\log_4 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументу.$$4^1=4,\qquad 4^{-1}=\dfrac{1}{4}$$
- 2
Для неравенства А получаем $x>4$, что соответствует решению 4. Для неравенства Б получаем $x>\dfrac{1}{4}$, что соответствует решению 2.$$\log_4 x>1\Longleftrightarrow x>4;\qquad \log_4 x>-1\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Упростим и оценим значения чисел:$$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{3}\approx1{,}67$$
- 2
Остальные значения приближённо равны:$$\dfrac{7}{3}\approx2{,}33,\quad \log_2 10\approx3{,}32,\quad \sqrt{26}\approx5{,}10$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Разложим первое неравенство на множители. Произведение не положительно между корнями.$$x^2-10x-24=(x-12)(x+2)\le 0 \Rightarrow -2\le x\le 12$$
- 2
Во втором неравенстве произведение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2-10x+24=(x-4)(x-6)\ge 0 \Rightarrow x\le 4\ \text{или}\ x\ge 6$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки: $x=2$ и $x=4$. Корень $x=2$ имеет чётную кратность, поэтому знак при переходе через него не меняется. Выражение отрицательно при $x<2$ и при $2<x<4$.$$(x-2)^2(x-4)<0 \Longrightarrow x<2 \text{ или } 2<x<4$$
- 2
В неравенстве Б числитель неотрицателен и равен нулю только при $x=4$, а знаменатель должен быть положительным: $x>2$. Точку $x=4$ нужно исключить.$$\dfrac{(x-4)^2}{x-2}>0 \Longrightarrow 2<x<4 \text{ или } x>4$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $6>1$, функция $\log_6 x$ возрастает на области определения $x>0$.$$\log_6 a > \log_6 b \Longleftrightarrow a>b$$
- 2
Неравенство А равносильно сравнению аргументов.$$\log_6 x>\log_6 6 \Longleftrightarrow x>6$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Рассмотрим положения точек на координатной прямой и сопоставим их с числовыми выражениями из правого столбца.
- 2
Точке $A$ соответствует выражение $-\dfrac{2}{m}$, то есть нөмір 4.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $x=2$ и $x=3$. Дробь положительна вне промежутка между ними:$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}>0 \Longrightarrow x<2\ \text{или}\ x>3$$
- 2
Так как основание показательной функции больше единицы, сравниваем показатели:$$3^{-x+3}>3^1 \Longrightarrow -x+3>1 \Longrightarrow x<2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$$
- 2
Ветви параболы направлены вверх, поэтому при неотрицательном значении берём внешние промежутки:$$x\in(-\infty;2]\cup[5;+\infty)$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Представим число $0{,}5$ как $2^{-1}$. В неравенстве А основание $2>1$, поэтому функция возрастает:
- 2
В неравенстве Б основание $0{,}5<1$, поэтому функция убывает и знак меняется:
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $2>1$, функция $\log_2 x$ возрастает. Поэтому неравенства можно преобразовать к степенным.$$\log_2 x > a \Longleftrightarrow x > 2^a,\quad \log_2 x < a \Longleftrightarrow 0<x<2^a$$
- 2
Для неравенства А получаем $x>2^1=2$, то есть Шешім $(2; +\infty)$ — нұсқа 4.$$\log_2 x>1 \Longleftrightarrow x>2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Число $m$ равно $\log_{4}6$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Поскольку $4^1<6<4^2$, имеем $1<m<2$. Более точно, $m\approx1{,}29$.$$m=\log_4 6\approx1{,}29$$
- 2
Вычислим первое выражение: $m-2\approx-0{,}71$, поэтому оно принадлежит отрезку $[-1;0]$.$$m-2\in[-1;0]$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
На прямой отмечены числа $m$ и $n$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
- 1
По положению точек $m$ и $n$ на числовой прямой оцениваем значения выражений из левого столбца.
- 2
Для первого выражения применяем разность квадратов: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Полученное число принадлежит отрезку $[3;4]$, поэтому А — 4.$$m^2-n^2\in[3;4]$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
На числовой прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По расположению числа на числовой прямой имеем $0<m<1$.
- 2
Так как $0<m<1$, то $m^2$ находится между $0$ и $1$. Это точка $B$, значит $B\to2$.$$0<m^2<1$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
Оценим логарифм: $2^4=16<20<32=2^5$, поэтому $4<\log_2 20<5$.$$\log_2 20\in[4;5]$$
- 2
Дробь $\dfrac{4}{3}$ больше 1 и меньше 2.$$1<\dfrac{4}{3}<2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $1$ и $4$. Множитель $(x-1)^2$ не меняет знак в точке $1$, а множитель $(x-4)$ отрицателен при $x<4$. Точка $x=1$ не входит в решение, так как обращает выражение в ноль.
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $x=1$ и $x=4$ исключаются.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $5>1$, функция $y=\log_5 x$ возрастает на области определения $x>0$.$$a>1 \Rightarrow \log_a x \text{ возрастает}$$
- 2
Для неравенства А сравниваем $x$ с $5^1$.$$\log_5 x>1 \Rightarrow x>5^1=5$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $x=3$ и $x=5$. Так как $(x-3)^2>0$ при $x\ne3$, знак дроби определяется числителем $x-5$. Поэтому $x<5$, но $x\ne3$.$$x\in(-\infty;3)\cup(3;5)$$
- 2
В неравенстве Б представим правую часть как степень числа 5. Основание $5>1$, поэтому сравниваем показатели.$$5^{-x+1}<5^{-2}\Rightarrow -x+1<-2\Rightarrow x>3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А нули множителей равны $3$ и $6$. Произведение отрицательно между корнями.
- 2
В неравенстве Б знаменатель должен быть положительным или отрицательным вместе с квадратом числителя. При $x>3$ дробь положительна, кроме точки $x=6$, где числитель равен нулю.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
А) Знаменатель $(x-3)^2$ положителен при $x\ne3$, поэтому дробь отрицательна, когда $x-5<0$. С учётом ограничения $x\ne3$ получаем.$$x<5,\quad x\ne3\quad\Rightarrow\quad x\in(-\infty;3)\cup(3;5)$$
- 2
Б) Представим правую часть как степень пятёрки. Так как основание $5>1$, сравниваем показатели.$$5^{-x+1}<5^{-2}\quad\Rightarrow\quad -x+1<-2\quad\Rightarrow\quad x>3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Область определения: $x>1$. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает:$$\log_2(x-1)<1 \Longleftrightarrow x-1<2 \Longleftrightarrow x<3$$
- 2
С учётом области определения получаем Шешім неравенства А:$$1<x<3$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде