От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
- 1
У треугольной призмы 6 вершин и 9 рёбер.
- 2
При отпиливании каждой вершины образуется треугольное сечение, то есть добавляются 3 новых ребра. Всего таких сечений 6.$$6 \cdot 3 = 18$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Однородный шар диаметром 5 см весит 375 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как их объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
- 2
Подставим известные значения.$$m_2=375\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=375\cdot\dfrac{8}{125}=24$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $7\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 2. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot7\sqrt{3}=7$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного сосуду. Линейный размер малого конуса составляет $\dfrac{2}{7}$ линейного размера полного конуса.$$k=\dfrac{2}{7}$$
- 2
Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия, поэтому объём жидкости равен следующей доле полного объёма сосуда.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{2}{7}\right)^3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько граней у получившегося многогранника?
- 1
У куба 6 граней, у правильной четырёхугольной пирамиды 5 граней: квадратное основание и 4 боковые треугольные грани.
- 2
При склеивании квадратное основание пирамиды и верхняя грань куба совпадают, поэтому обе эти грани становятся внутренними и не учитываются.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1600$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает меньший конус, подобный всему сосуду. Все его линейные размеры в два раза меньше.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{6}{7}$ высоты. Объём сосуда равен 1715 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Отношение их высот равно отношению соответствующих линейных размеров:$$\frac{h}{H}=\frac{6}{7}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{6}{7}\right)^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 8 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует малый конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен отношению высот:$$k=\frac{1}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный полному сосуду. Отношение их высот равно $\dfrac{4}{7}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого отношения.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3$$
- 2
Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=80\cdot\left(\dfrac{7}{4}\right)^3=428{,}75\text{ мл}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{7}$ высоты. Объём жидкости равен $270$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{3}{7}$, поэтому объём жидкости составляет $\left(\dfrac{3}{7}\right)^3$ объёма сосуда.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\left(\dfrac{3}{7}\right)^3$$
- 2
Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=270\cdot\left(\dfrac{7}{3}\right)^3=3430\text{ мл}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 7. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 5 и 7:$$S_{\text{осн}} = \frac{5 \cdot 7}{2} = 17{,}5$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{\text{осн}}h = 17{,}5 \cdot 4 = 70$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен $\frac{1}{3}$.$$k = \frac{1}{3}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну двадцать седьмую объёма всего сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямолинейный участок трубы длиной 5 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Переведём длину трубы в сантиметры, так как обхват дан в сантиметрах.$$5\ \text{м} = 500\ \text{см}$$
- 2
Площадь наружной поверхности без торцов равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = 23 \cdot 500 = 11500\ \text{см}^2$$
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного всему сосуду. Его высота в два раза меньше высоты сосуда, поэтому коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объём подобного тела изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямолинейный участок трубы длиной 4 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи. Торцы трубы открыты, их красить не нужно. Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Окрашивается только боковая поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = C \cdot h$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры:$$4\ \text{м} = 400\ \text{см}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1620$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает часть сосуда, имеющую форму меньшего конуса, подобного исходному. Все линейные размеры уменьшены в $2$ раза.$$k=\dfrac{1}{2}$$
- 2
Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$V=1620\cdot k^3=1620\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…
- 1
Поверхность детали состоит из двух равных граней площадью $5 \cdot 5$ и четырёх боковых граней площадью $5 \cdot 1$.$$S = 2 \cdot (5 \cdot 5) + 4 \cdot (5 \cdot 1)$$
- 2
Вычислим площадь всей поверхности:$$S = 50 + 20 = 70$$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 2 и 18. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 18.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 18 = 18$$
- 2
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 18 \cdot 3 = 54$$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $4$ и $\sqrt{34}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольную грань $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора найдём её второе ребро:$$AA_1^2 = AB_1^2 - AB^2 = (\sqrt{34})^2 - 5^2 = 34 - 25 = 9$$
- 2
Следовательно, $AA_1 = 3$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1040$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает меньший конус, подобный всему сосуду. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k = \frac{h}{H} = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде