В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\dfrac{4}{5}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого коэффициента.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125}$$
- 2
По условию объём жидкости равен 80 мл, значит объём всего сосуда равен:$$V_{\text{сосуда}}=80\cdot\frac{125}{64}=156{,}25\text{ мл}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Рассмотрим боковой профиль детали. Его можно представить как прямоугольник размером $3 \times 4$, из которого удалён прямоугольник размером $(3 - 2) \times 2$.$$S = 3 \cdot 4 - (3 - 2) \cdot 2 = 10$$
- 2
Полученный профиль имеет глубину $2$ см, поэтому объём детали равен произведению площади профиля на глубину.$$V = S \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $4$, $7$ и $\sqrt{41}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
В грани $ABB_1A_1$ диагональ $AB_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$AB_1^2=AB^2+AA_1^2$$
- 2
Найдём высоту параллелепипеда:$$AA_1=\sqrt{AB_1^2-AB^2}=\sqrt{41-16}=\sqrt{25}=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз…
- 1
Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $1{,}5a$, а её высота — $\dfrac{h}{4{,}5}$.$$a_2 = 1{,}5a_1, \quad h_2 = \dfrac{h_1}{4{,}5}$$
- 2
Объём правильной четырёхугольной призмы равен произведению площади квадратного основания на высоту.$$V = a^2h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Однородный шар диаметром 4 см весит 128 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам, а объёмы шаров пропорциональны кубам диаметров.$$\frac{m_2}{m_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3$$
- 2
Подставим известные значения.$$m_2=128\left(\frac{7}{4}\right)^3=128\cdot\frac{343}{64}=686$$
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $3\sqrt{6}$.
- 1
В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат со стороной 6. Расстояние от его центра до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, отрезком $R$ и боковым ребром:$$h^2=(3\sqrt{6})^2-(3\sqrt{2})^2=54-18=36$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $5\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Найдём площадь основания — правильного треугольника со стороной $2$.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$
- 2
Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h = SA = 5\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
- 1
При отпиливании всех вершин куба каждая исходная вершина исчезает. На каждом ребре куба остаются две точки — по одной около каждого из его концов.
- 2
У куба 12 рёбер, поэтому число вершин нового многогранника равно:$$12 \cdot 2 = 24$$
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $80\ \text{см} \times 30\ \text{см} \times 40\ \text{см}$. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре $1000$ кубических…
- 1
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.$$V = 80 \cdot 30 \cdot 40 = 96000\ \text{см}^3$$
- 2
Переведём объём из кубических сантиметров в литры.$$96000 : 1000 = 96\ \text{л}$$
Аквариум имеет форму куба со стороной 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.
- 1
Объём куба равен кубу длины его стороны.$$V = a^3$$
- 2
Подставим длину стороны аквариума:$$V = 40^3 = 64000\ \text{см}^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза ниже второй, а вторая — в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй…
- 1
Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда объём первой коробки:$$V_1 = a^2h$$
- 2
У второй коробки высота в 4 раза больше, а сторона квадратного основания в 1,5 раза больше:$$V_2 = (1{,}5a)^2 \cdot 4h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 90 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость заполняет конус, подобный сосуду. Его линейные размеры в 2 раза меньше, поэтому объём в 8 раз меньше.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}$$
- 2
Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=90\cdot 8=720\ \text{мл}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
- 2
Объём шара пропорционален кубу его диаметра.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $\sqrt{53}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2=(\sqrt{53})^2-2^2=53-4=49,\quad b=7$$
- 2
Площадь основания — площадь прямоугольного треугольника:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot7=7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 44 см. Найдите…
- 1
Переведём размеры оригинальной пирамиды в сантиметры: сторона основания равна $220\ м = 22000\ см$, высота равна $104\ м = 10400\ см$.$$220\ \text{м}=22000\ \text{см},\qquad 104\ \text{м}=10400\ \text{см}$$
- 2
Коэффициент подобия копии и оригинала найдём по сторонам оснований.$$k=\dfrac{44}{22000}=\dfrac{1}{500}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 80$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в четыре раза больше…
- 1
При переливании объём воды сохраняется.$$V_1 = V_2$$
- 2
При увеличении радиуса основания в 4 раза площадь основания увеличивается в 16 раз.$$S_2 = \pi(4r)^2 = 16\pi r^2 = 16S_1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно 4, 6 и 5. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$. Его гипотенуза $AB_1=5$, а катет $AB=4$.$$BB_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$$
- 2
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.$$V = AB \cdot AD \cdot BB_1 = 4 \cdot 6 \cdot 3 = 72$$
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму детали.
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S = 20^2 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней?
- 1
Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ пересекает рёбра куба и образует сечение. Получившиеся точки пересечения становятся дополнительными вершинами многогранников.
- 2
Для каждого из двух многогранников считаем вершины: сохраняем вершины куба, расположенные на соответствующей части, и добавляем вершины, возникшие на рёбрах при пересечении плоскостью.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 42, а боковые рёбра равны 29. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами 29 и основанием 42. Высота грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{29^2 - \left(\frac{42}{2}\right)^2}$$
- 2
Вычислим высоту боковой грани:$$h = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20$$
Ещё 2 шага — в полном решении