Значение арифметического выражения $9^{11} \times 3^{20} - 3^9 - 27$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?
- 1
Представим множитель $9^{11}$ как степень числа $3$: $9^{11} = (3^2)^{11} = 3^{22}$.$$9^{11} \times 3^{20} = 3^{22} \times 3^{20} = 3^{42}$$
- 2
Тогда исходное выражение имеет вид:$$3^{42} - 3^9 - 27 = 3^{42} - 3^9 - 3^3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15: $9897x21_{15} + 12x023_{15}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной…
- 1
Переведём выражение в десятичную систему, сохранив зависимость от $x$:$$9897x21_{15}+12x023_{15}=109930564+3600x$$
- 2
Для делимости на 14 рассмотрим выражение по модулю 14:$$109930564+3600x\equiv 2+2x\pmod{14}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $3 \cdot 625^{173} + 4 \cdot 125^{180} + 3 \cdot 25^{157} + 2 \cdot 5^{155} + 156$ записали в системе счисления с основанием $25$. Сколько значащих нулей…
- 1
Выразим степени чисел через степени основания $25$: $625 = 25^2$, $125 = 5^3$, а $25$ уже является основанием системы.$$3 \cdot 625^{173} = 3 \cdot 25^{346}$$
- 2
Так как $125^{180} = 5^{540} = 25^{270}$, второй член равен $4 \cdot 25^{270}$, а третий член уже имеет вид $3 \cdot 25^{157}$.$$4 \cdot 125^{180} = 4 \cdot 25^{270}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $16^{18} \times 4^{10} - 4^6 - 16$ записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение как степень числа 4:$$16^{18} \times 4^{10} - 4^6 - 16 = (4^2)^{18} \times 4^{10} - 4^6 - 4^2 = 4^{46} - 4^6 - 4^2$$
- 2
В системе счисления с основанием 4 число $4^{46} - 4^6$ записывается так, что на позициях с 6-й по 45-ю стоят цифры 3. Всего таких цифр 40.
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $49^7 + 7^{21} - 7$ записали в системе счисления с основанием $7$. Сколько цифр $6$ содержится в этой записи?
- 1
Представим первую степень через основание системы счисления:$$49^7 = (7^2)^7 = 7^{14}$$
- 2
Преобразуем выражение:$$7^{14} + 7^{21} - 7 = 7^{21} + (7^{14} - 7)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 25: $142x23_{25} + 1x34561_{25}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 25-ричной системы…
- 1
Разворачиваем записи чисел по степеням основания 25, заменяя неизвестную цифру её значениями от 0 до 24.$$142x23_{25}=1\cdot25^5+4\cdot25^4+2\cdot25^3+x\cdot25^2+2\cdot25+3$$
- 2
Аналогично переводим второе слагаемое в десятичную систему.$$1x34561_{25}=1\cdot25^5+x\cdot25^4+3\cdot25^3+4\cdot25^2+5\cdot25+6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в…
- 1
Перебираем значения $x$ в порядке убывания, начиная с 2030, и для каждого вычисляем троичную запись числа $3^{100}-x$.
- 2
Для наибольшего подходящего значения получаем $x=1823$. Его троичная запись имеет вид $1823_{10}=2111122_3$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $49^{12} + 7^{36} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение через степени основания 7: $49^{12} = (7^2)^{12} = 7^{24}$, а $49 = 7^2$.$$N = 7^{24} + 7^{36} - 7^2$$
- 2
Рассмотрим разность $7^{24} - 7^2$. В семеричной системе в разрядах со степенями от 2 до 23 включительно будут стоять цифры 6.$$7^{24} - 7^2 = 6\cdot 7^2 + 6\cdot 7^3 + \dots + 6\cdot 7^{23}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.
- 1
Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием $p$ равна остатку от деления числа на $p$.$$24 \equiv 3 \pmod p$$
- 2
Следовательно, основание должно быть делителем разности $24 - 3$.$$p \mid (24 - 3) = 21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Значение арифметического выражения $9^{23} + 3^{69} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
- 1
Заменим число $9$ степенью тройки:$$9^{23} + 3^{69} - 9 = (3^2)^{23} + 3^{69} - 3^2 = 3^{46} + 3^{69} - 3^2$$
- 2
Старший член $3^{69}$ добавляет единицу в разряд $3^{69}$ и не влияет на разряды от $3^2$ до $3^{45}$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 23. $913x2125_{23} + 712x6911_{23}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 23-ричной…
- 1
Поскольку $23 \equiv 1 \pmod{22}$, значение каждого числа в 23-ричной системе счисления сравнимо с суммой его цифр по модулю 22.$$913x2125_{23} \equiv 9+1+3+x+2+1+2+5 = 23+x \equiv 1+x \pmod{22}$$
- 2
Для второго слагаемого сумма цифр равна $27+x$, поэтому его остаток по модулю 22 равен $5+x$.$$712x6911_{23} \equiv 7+1+2+x+6+9+1+1 = 27+x \equiv 5+x \pmod{22}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $9^8 + 3^5 - 27$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
- 1
Выразим степени через основание троичной системы:$$9^8 = (3^2)^8 = 3^{16},\quad 27 = 3^3$$
- 2
Преобразуем разность младших слагаемых:$$3^5 - 3^3 = 243 - 27 = 216 = 2 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Определите сумму всех цифр с числовым значением, превышающим 9, в $36$-ричной записи числа, заданного выражением…
- 1
Представим основания степеней как степени числа $6$:$$7776=6^5,\quad 1296=6^4,\quad 216=6^3,\quad 36=6^2$$
- 2
После подстановки выражение принимает вид:$$5\cdot 6^{10065}-4\cdot 6^{8060}+3\cdot 6^{6051}+4\cdot 6^{4038}-5\cdot 6^{2021}-2023$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $25^{12} + 5^{36} - 25$ записали в системе счисления с основанием $5$. Сколько цифр $4$ содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение в виде суммы степеней числа $5$:$$25^{12} + 5^{36} - 25 = 5^{24} + 5^{36} - 5^2$$
- 2
При вычитании $5^2$ из $5^{24}$ происходит заимствование. В разрядах от $5^2$ до $5^{23}$ появляются цифры $4$, а разряд $5^{24}$ обнуляется.$$5^{36} + 5^{24} - 5^2 = 5^{36} + 4\cdot5^{23} + 4\cdot5^{22} + \dots + 4\cdot5^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сколько единиц в двоичной записи числа 195?
- 1
Разложим число 195 на степени двойки:$$195 = 128 + 64 + 2 + 1$$
- 2
Следовательно, в разрядах, соответствующих слагаемым $128$, $64$, $2$ и $1$, стоят единицы:$$195 = 11000011_2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Значение арифметического выражения $25^5 + 5^{15} - 25$ записали в системе счисления с основанием $5$. Сколько цифр $4$ содержится в этой записи?
- 1
Преобразуем первую степень:$$25^5 = (5^2)^5 = 5^{10}$$
- 2
Запишем выражение в виде суммы степеней числа $5$:$$5^{15} + 5^{10} - 5^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно
- 1
Разложим число 126 по степеням двойки:$$126 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2$$
- 2
Следовательно, двоичная запись числа 126 — $1111110$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Значение арифметического выражения $9 \cdot 11^{210} + 8 \cdot 11^{150} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 3000, записали в 11-ричной системе счисления. Определите наибольшее…
- 1
В записи числа $9 \cdot 11^{210} + 8 \cdot 11^{150}$ между цифрами 8 и 9 находятся разряды с номерами от 151 до 209. Все они являются нулевыми, то есть дают 59 нулей.
- 2
Так как $x > 0$, при вычитании из разряда $8 \cdot 11^{150}$ происходит заём. Младшая часть записи равна $11^{150}-x$, а её цифры являются дополнениями до 10 цифр числа $x-1$ в 11-ричной системе.
Ещё 2 шага — в полном решении
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19: $78x79643_{19} + 25x43_{19} + 63x5_{19}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита…
- 1
Поскольку $19 \equiv 1 \pmod{18}$, каждое число в 19-ричной системе сравнимо по модулю 18 с суммой своих цифр.
- 2
Сумма цифр выражения равна $(7+8+x+7+9+6+4+3)+(2+5+x+4+3)+(6+3+x+5)=72+3x$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19: $98x79731_{19} + 36x14_{19}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы…
- 1
Переведём выражение из 19-ричной системы счисления в десятичную, раскрыв позиционную запись чисел.$$98x79731_{19} + 36x14_{19} = 8422621402 + 2476460x$$
- 2
Найдём остатки коэффициентов по модулю 18. Имеем $8422621402 \equiv 4 \pmod{9}$ и $2476460 \equiv 2 \pmod{9}$.$$4 + 2x \equiv 0 \pmod{9}$$
Ещё 2 шага — в полном решении