Решение: Нули в троичной записи
Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в троичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно один нуль.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
4 шагаПеребираем значения $x$ в порядке убывания, начиная с 2030, и для каждого вычисляем троичную запись числа $3^{100}-x$.
Для наибольшего подходящего значения получаем $x=1823$. Его троичная запись имеет вид $1823_{10}=2111122_3$.
Так как $1823<3^7$, представление разности можно рассмотреть через число $3^7-1823$: $3^7-1823=2187-1823=364_{10}=111111_3$.
Следовательно, в записи $3^{100}-1823$ все старшие разряды до соответствующего блока заполнены цифрами 2, затем появляется один нуль, а остальные разряды содержат единицы. Нулей ровно один.
Где здесь ошибаются
Переводят в троичную систему только число $x$, а не значение выражения $3^{100}-x$.
Ищут минимальное, а не максимальное подходящее значение $x$.
Не учитывают ведущий нуль в блоке, возникающем при вычитании из степени тройки.