121ФИПИ E3F78B№ 19Базовая Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: равенство диагоналей параллелограмма означает, что он является прямоугольником, но не обязательно квадратом.
- 2
Второе утверждение верно, поскольку сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
122ФИПИ E4BA92№ 19Повышенная Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение является верным: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
- 2
Второе утверждение неверно: окружность можно вписать только в прямоугольник, являющийся квадратом.
Ещё 1 шаг — в полном решении
123ФИПИ E63C99№ 19Повышенная Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Утверждение 1 является верным по теореме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
- 2
Утверждение 2 неверно: у ромба равны стороны, а его углы могут быть различными.
Ещё 1 шаг — в полном решении
124ФИПИ E86310№ 19Повышенная Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
- 2
Следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
125ФИПИ EA1672№ 19Базовая Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Если один из них острый, то другой является тупым, поэтому утверждение 1 неверно.
- 2
Прямоугольник является параллелограммом. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому утверждение 2 верно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
126ФИПИ EA6D01№ 19Повышенная Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, поэтому первое утверждение ложно.
- 2
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около треугольника окружности. Второе утверждение истинно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
127ФИПИ EB6B6A№ 19Базовая Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Утверждение 1 неверно: если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они могут быть параллельными, а не перпендикулярными.
- 2
В равностороннем треугольнике все углы равны и составляют $60^\circ$, поэтому такой треугольник является остроугольным. Утверждение 2 истинно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
128ФИПИ ED9498№ 19Повышенная Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Площадь треугольника, заключённого между сторонами $a$ и $b$, равна $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$. Так как $\sin\gamma \leq 1$, то $S \leq \dfrac{1}{2}ab < ab$. Первое утверждение истинно.$$S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma < ab$$
- 2
Через заданную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, поэтому второе утверждение ложно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
129ФИПИ F139F2№ 19Повышенная Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: в ромбе равны противоположные углы, а не все углы. Все углы равны только у квадрата.
- 2
Второе утверждение верно. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине развернутого угла.$$\angle = \dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
130ФИПИ F34539№ 19Повышенная Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
У прямоугольной трапеции диагонали вообще говоря не равны, поэтому утверждение 1 неверно.
- 2
Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, такой прямоугольник существует, и утверждение 2 истинно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
131ФИПИ F54D86№ 19Повышенная Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Проверим первое утверждение. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма углов прямоугольного треугольника не может быть равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Через одну точку можно провести три и более различных прямых. Второе утверждение истинно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
132ФИПИ F688BF№ 19Повышенная Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Равенство двух соответствующих сторон не является достаточным условием равенства треугольников: угол между ними может быть различным. Поэтому утверждение 1 ложно.
- 2
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям по свойству средней линии трапеции. Поэтому утверждение 2 истинно.
Ещё 1 шаг — в полном решении
133ФИПИ F849BA№ 19Повышенная Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Площадь параллелограмма вычисляется как произведение основания на высоту, а не просто как произведение длин его сторон. Утверждение 1 ложно.$$S = a h$$
- 2
Для сторон 1, 2 и 4 не выполняется неравенство треугольника: сумма двух меньших сторон меньше третьей.$$1 + 2 < 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
134ФИПИ FA29D3№ 19Повышенная Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Рассмотрим первое утверждение. Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, такое утверждение истинно.
- 2
Второе утверждение ложно: квадраты могут иметь разные длины сторон, поэтому их площади не обязаны быть равными.$$S = a^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
135ФИПИ FA4567№ 19Базовая Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- 1
Первое утверждение неверно: прямоугольные треугольники могут иметь разные острые углы, поэтому не все они подобны.
- 2
Второе утверждение неверно: через одну точку плоскости можно провести бесконечно много прямых.
Ещё 1 шаг — в полном решении
136ФИПИ FA80ED№ 19Повышенная Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Сумма углов любого треугольника, в том числе равнобедренного, равна $180^\circ$. Утверждение 1 истинно.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
По аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Утверждение 2 истинно.$$a \parallel b$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
137ФИПИ FAAE11№ 19Повышенная Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Утверждение 1 неверно: через одну заданную точку можно провести бесконечно много прямых.
- 2
У равносторонних треугольников все углы равны $60^\circ$, поэтому любые два таких треугольника подобны.$$60^\circ = 60^\circ = 60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
138ФИПИ FB6E7E№ 19Повышенная Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, а не их сумме.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Прямоугольник имеет четыре прямых угла, поэтому все его углы равны.
Ещё 1 шаг — в полном решении
139ФИПИ 25581B№ 23Повышенная Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $8$ и $32$, $BD = 16$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей этих параллельных прямых, поэтому углы $CBD$ и $BDA$ равны как накрест лежащие.$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Рассмотрим стороны, прилежащие к равным углам. По условию $BC = 8$, $BD = 16$, $AD = 32$.$$\frac{BC}{BD} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
140ФИПИ 7487CE№ 23Повышенная Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $7$ и $28$, $BD = 14$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей, поэтому внутренние накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Сравним стороны, прилежащие к этим углам:$$\frac{BC}{BD} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении