Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Геометрические утверждения» — с ответами

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому утверждение 1 является истинным.

В равнобедренном треугольнике не каждая биссектриса является медианой: таким свойством обладает биссектриса угла при вершине.

Первое утверждение неверно: в равнобедренном треугольнике биссектрисой и медианой одновременно является только биссектриса, проведённая к основанию. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, вообще говоря, медианами не являются.

Второе утверждение верно. Ромб является параллелограммом, а площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию.$$S = ah$$

Первое утверждение неверно: диагонали ромба не обязаны быть равными. Равные диагонали имеет, например, квадрат.

Второе утверждение неверно: если коэффициент подобия равен $k$, то отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$, а не $k$.$$\frac{S_1}{S_2}=k^2$$

Проверим первое утверждение. Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, такой прямоугольник существует.

Проверим второе утверждение. Если один угол ромба равен 90 градусам, то все его углы прямые. Ромб с прямыми углами является квадратом.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если бы каждый угол был больше $60^\circ$, сумма была бы больше $180^\circ$. Следовательно, хотя бы один угол не превышает $60^\circ$.$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, а не их сумме.$$m=\dfrac{a+b}{2}$$

По определению трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Эти стороны являются основаниями трапеции.

У ромба равны все стороны, но все углы равны только в частном случае, когда ромб является квадратом.

Первое утверждение неверно: если угол острый, то смежный с ним угол равен $180^\circ - \alpha$ и является тупым.

Второе утверждение верно: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то его стороны равны, следовательно, параллелограмм является ромбом.

Утверждение 1 истинно: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Утверждение 2 истинно: в параллелограмме противоположные стороны равны. Если две соседние стороны равны, то все четыре стороны равны, следовательно, параллелограмм является ромбом.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому утверждение 1 неверно.$$t \perp r$$

Ромб является параллелограммом. Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому утверждение 2 верно.$$AO = OC,\quad BO = OD$$

Первое утверждение верно по признаку подобия треугольников: по трём парам равных углов треугольники подобны.$$A_1=A_2,\ B_1=B_2,\ C_1=C_2 \Rightarrow \triangle_1\sim\triangle_2$$

Второе утверждение неверно: диагонали ромба в общем случае не равны; равными они бывают, например, у квадрата.

В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны, поэтому его высоты имеют одинаковую длину. Утверждение 1 истинно.

Через одну точку можно провести не только три, но и бесконечно много прямых. Утверждение 2 истинно.

Утверждение 1 неверно: тангенс острого угла может быть больше единицы, например $\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$.$$\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$$

Утверждение 2 неверно: средняя линия трапеции равна половине суммы её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Через одну точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, поэтому первое утверждение ложно.

У прямоугольника противоположные углы равны $90^\circ$, а значит, их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, любой прямоугольник можно вписать в окружность.$$\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

Ромб является параллелограммом. Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому первое утверждение истинно.

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому второе утверждение неверно.$$\angle вписанный = \dfrac{1}{2}\angle центральный$$

Ромб является параллелограммом. Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому первое утверждение истинно.

В тупоугольном треугольнике только один угол является тупым, поэтому второе утверждение ложно.

В равностороннем треугольнике все высоты равны, поскольку треугольник симметричен относительно всех своих медиан.

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине соответствующего центрального угла. Поэтому утверждение 2 неверно.$$\alpha = \dfrac{\beta}{2}$$

Утверждение 1 истинно: через одну точку могут проходить три и более прямых.

Утверждение 2 ложно: боковые стороны равны не у любой трапеции, а только у отдельных видов, например у равнобедренной трапеции.

По свойству средней линии трапеции её длина равна полусумме оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Диагонали прямоугольника делят его на четыре треугольника, но эти треугольники не обязательно равны. Они будут равными, например, у квадрата.

Боковые стороны произвольной трапеции не обязаны быть равными. Равенство боковых сторон является свойством равнобедренной трапеции.

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника проходит через точки, равноудалённые от концов этой стороны. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре окружности, описанной около треугольника.

Первое утверждение неверно: равные диагонали параллелограмма означают, что он является прямоугольником. Прямоугольник не обязательно является ромбом.

Второе утверждение верно: расстояние от центра окружности до любой точки окружности по определению равно радиусу.