Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Окружность и вписанные фигуры» — с ответами

Угол треугольника в окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $53^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
2. 2
   По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона по радиусу окружности

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $65^\circ$ и $85^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $14$.

1. 1
   Найдём третий угол треугольника:$$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 65^\circ - 85^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Сторона $BC$ является хордой описанной окружности и лежит напротив угла $A$. По теореме синусов:$$BC = 2R\sin A$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $54^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$$
2. 2
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$

Угол треугольника в окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $24^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центр окружности лежит на стороне $AB$, а точки $A$ и $B$ принадлежат окружности. Следовательно, $AB$ — диаметр окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
2. 2
   Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Поэтому:$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по радиусу

Периметр треугольника равен 60, одна из сторон равна 12, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{60}{2} = 30$$
2. 2
   Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r \cdot p$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 12$, $BC = 5$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 32 = 64$$

Сторона равностороннего треугольника

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$. Найдите сторону треугольника.

1. 1
   Расстояние от центра $O$ до стороны равностороннего треугольника является радиусом вписанной окружности.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим известное расстояние и найдём сторону треугольника.$$\dfrac{4\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь описанного квадрата

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19.

1. 1
   Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r$$
2. 2
   Вычислим сторону квадрата:$$a = 2 \cdot 19 = 38$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $68^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $80^\circ$, угол $CAD$ равен $34^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому дуга $AD$ равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot80^\circ=160^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому дуга $CD$ равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot34^\circ=68^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $56^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный четырёхугольник имеет свойство: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=18$.

1. 1
   Обозначим через $H$ основание высоты, проведённой из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BD:DH=5:4$, поэтому $BD:BH=5:9$.$$BH=BD+DH$$
2. 2
   Пусть $\angle BAD=\angle DAC=\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $BH$ и биссектрисой $AD$, получаем отношение $BD:BH=\dfrac{1}{2\cos^2\alpha}$.$$\frac{BD}{BH}=\frac{1}{2\cos^2\alpha}$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Угол, вписанный в окружность

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $108^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Следовательно, углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$
2. 2
   Угол $AOB$ — центральный, а угол $ACB$ — вписанный. Они опираются на одну и ту же дугу $AB$, поэтому вписанный угол в два раза меньше центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{72^\circ}{2} = 36^\circ$$

Высота описанной трапеции

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 18 = 36$$

Площадь прямоугольника по диагонали

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\frac{5}{13}$. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника, поэтому диагональ равна 13.
2. 2
   Из определения синуса угла между стороной и диагональю находим одну из сторон прямоугольника:$$b = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Радиус описанной окружности

Сторона квадрата равна $12\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата выражается через его сторону:$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны:$$d=12\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\circ$, угол $CAD$ равен $60^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина вдвое больше угла $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot92^\circ=184^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot60^\circ=120^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона квадрата по радиусу

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $22\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

1. 1
   Диаметр окружности, описанной около квадрата, равен диагонали квадрата.$$d = 2R = 2 \cdot 22\sqrt{2} = 44\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Поэтому$$a\sqrt{2} = 44\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $53^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником.
2. 2
   Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении