Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=18$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $H$ основание высоты, проведённой из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BD:DH=5:4$, поэтому $BD:BH=5:9$.
$$BH=BD+DH$$Пусть $\angle BAD=\angle DAC=\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $BH$ и биссектрисой $AD$, получаем отношение $BD:BH=\dfrac{1}{2\cos^2\alpha}$.
$$\frac{BD}{BH}=\frac{1}{2\cos^2\alpha}$$Подставим известное отношение отрезков и найдём косинус половины угла $A$.
$$\frac{1}{2\cos^2\alpha}=\frac{5}{9},\qquad \cos^2\alpha=\frac{9}{10}$$Так как $A=2\alpha$, используем формулу двойного угла.
$$\cos A=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{10}-1=\frac{4}{5}$$Угол $A$ треугольника является острым, поэтому его синус положителен.
$$\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$$По теореме синусов для стороны $BC$, лежащей напротив угла $A$, имеем $BC=2R\sin A$. Подставим $BC=18$.
$$18=2R\cdot\frac{3}{5},\qquad R=15$$Радиус описанной окружности равен $15$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют отношение $BD:DH=5:4$, забывая, что $BH=BD+DH$.
Путают угол $A$ с его половиной $\alpha$ при применении формулы двойного угла.
Используют формулу $BC=R\sin A$ вместо правильной формулы $BC=2R\sin A$.