Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Окружность и вписанные фигуры» — с ответами

Угол вписанного четырёхугольника

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $54^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный четырёхугольник имеет свойство: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$$

Хорда в описанной окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $6{,}5$. Найдите $AC$, если $BC = 12$.

1. 1
   Центр окружности лежит на стороне $AB$, поэтому $AB$ является диаметром окружности.$$AB=2R=2\cdot 6{,}5=13$$
2. 2
   Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$.$$AC^2+BC^2=AB^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника:$$r = \dfrac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{18}{6} = 3$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $70^\circ$, угол $CAD$ равен $49^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $CAD$ и $CBD$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $CD$, поэтому они равны.$$\angle CBD = \angle CAD = 49^\circ$$
2. 2
   Луч $BD$ делит угол $ABC$ на углы $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота трапеции

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 48. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции, поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 48 = 96$$

Угол между диаметрами

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $59^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 59^\circ = 118^\circ$$
2. 2
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $13:12$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…

1. 1
   Обозначим через $H$ основание высоты, проведённой из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. Пусть $\angle A=2\alpha$, а $AB=c$. Введём координаты так, чтобы ось $Ox$ совпадала с биссектрисой угла…
2. 2
   Тогда координаты точки $B$ имеют вид $B=(c\cos\alpha,c\sin\alpha)$. Направляющий единичный вектор стороны $AC$ равен $(\cos\alpha,-\sin\alpha)$, поэтому основание перпендикуляра $H$ имеет координаты…$$y_B=c\sin\alpha,\qquad y_H=-c\cos 2\alpha\sin\alpha$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Площадь описанного квадрата

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 32.

1. 1
   Сторона квадрата, описанного около окружности, равна диаметру окружности.$$a = 2r$$
2. 2
   Найдём сторону квадрата:$$a = 2 \cdot 32 = 64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона вписанного треугольника

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$. Найдите сторону треугольника.

1. 1
   Расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника является его апофемой. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности в два раза больше апофемы.$$R=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
2. 2
   Сторона равностороннего треугольника выражается через радиус описанной окружности формулой $a=\sqrt{3}R$.$$a=\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=1$$

Угол вписанного четырёхугольника

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $112^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $A$ и $C$ — противоположные углы вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $54^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому найдём её величину:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot38^\circ=76^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot54^\circ=108^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол по диаметрам окружности

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $124^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
2. 2
   Найдём центральный угол $AOB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $25^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому дуга $AD$ вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot25^\circ=50^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому дуга $CD$ равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot41^\circ=82^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = d$$
2. 2
   Диаметр окружности вдвое больше её радиуса:$$h = d = 2r = 2 \cdot 20 = 40$$

Расстояние до хорды

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 36$, $CD = 48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно $24$.

1. 1
   Пусть $O$ — центр окружности. Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $18$.$$\frac{AB}{2} = 18$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Угол, опирающийся на дугу

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 48^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle NBA$ — вписанный, поэтому дуга $NA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{NA}=2\cdot48^\circ=96^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{NB}=180^\circ-96^\circ=84^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=8$.

1. 1
   Обозначим через $D$ точку пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$, а через $H$ — основание высоты. Так как $BD:DH=5:3$, то $BH=\dfrac{8}{5}BD$.
2. 2
   Рассмотрим координаты $B=(0,0)$, $C=(8,0)$, $A=(x,y)$, где $H$ лежит на оси ординат. Используя равенство расстояний от точки $D$ до сторон $AB$ и $AC$, а также условие $BD:DH=5:3$, после преобразований получаем $x=4$. Следовательно…

Ещё 4 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $78^\circ$, угол $CAD$ равен $40^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга $AD$, на которую опирается угол $ABD$, в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot 78^\circ=156^\circ$$
2. 2
   Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, также в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot 40^\circ=80^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна 48. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

1. 1
   Вписанная в квадрат окружность касается всех его сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$d = a = 48$$
2. 2
   Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$

Угол по диаметрам окружности

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $50^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$$
2. 2
   Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного.$$\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{130^\circ}{2} = 65^\circ$$