Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $13:12$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=20$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $H$ основание высоты, проведённой из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. Пусть $\angle A=2\alpha$, а $AB=c$. Введём координаты так, чтобы ось $Ox$ совпадала с биссектрисой угла $A$.
Тогда координаты точки $B$ имеют вид $B=(c\cos\alpha,c\sin\alpha)$. Направляющий единичный вектор стороны $AC$ равен $(\cos\alpha,-\sin\alpha)$, поэтому основание перпендикуляра $H$ имеет координаты $H=c\cos 2\alpha(\cos\alpha,-\sin\alpha)$.
$$y_B=c\sin\alpha,\qquad y_H=-c\cos 2\alpha\sin\alpha$$Так как $BD:DH=13:12$, точка $D$ делит отрезок $BH$ так, что $D=\dfrac{12B+13H}{25}$. Точка $D$ лежит на биссектрисе, то есть её координата $y$ равна нулю.
$$\frac{12c\sin\alpha+13(-c\cos 2\alpha\sin\alpha)}{25}=0$$После сокращения на $c\sin\alpha$ получаем значение косинуса угла $A$:
$$12-13\cos 2\alpha=0,\qquad \cos A=\cos 2\alpha=\frac{12}{13}$$Так как угол $A$ острый, его синус равен:
$$\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$$По теореме синусов радиус описанной окружности выражается формулой $R=\dfrac{BC}{2\sin A}$. Подставим известные значения.
$$R=\frac{20}{2\cdot\frac{5}{13}}=26$$Радиус описанной окружности равен 26.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Перепутать отношение $BD:DH=13:12$ с отношением $BH:DH$.
Использовать в формуле радиуса косинус угла вместо синуса.
Забыть, что $\angle A=2\alpha$, если через $\alpha$ обозначена половина угла.