Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=8$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $D$ точку пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$, а через $H$ — основание высоты. Так как $BD:DH=5:3$, то $BH=\dfrac{8}{5}BD$.
Рассмотрим координаты $B=(0,0)$, $C=(8,0)$, $A=(x,y)$, где $H$ лежит на оси ординат. Используя равенство расстояний от точки $D$ до сторон $AB$ и $AC$, а также условие $BD:DH=5:3$, после преобразований получаем $x=4$. Следовательно, высота из вершины $B$ проходит через середину основания $AC$ по симметрии получаем $AB=AC$.
При $x=4$ из условия деления высоты следует $BH=4$. Так как $BC=8$, получаем прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $2$, поэтому $AB=AC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
Площадь треугольника равна $S=\dfrac12\cdot BC\cdot BH=\dfrac12\cdot8\cdot2=8$.
Используем формулу радиуса описанной окружности: $R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}$.
Подставляем найденные значения: $R=\dfrac{2\sqrt5\cdot8\cdot2\sqrt5}{4\cdot8}=5$.
Радиус описанной окружности равен $5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно истолковать отношение $5:3$ и считать его отношением $DH:BD$.
Забыть, что площадь треугольника вычисляется через основание $BC$ и высоту из вершины $A$, либо использовать неподходящую высоту.
Ошибиться в формуле $R=\dfrac{abc}{4S}$.