ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Шеңбер және іштей сызылған фигуралар» — жауаптарымен

Сторона описанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 11$, $BC = 7$, $CD = 12$. Найдите $AD$.

1. 1
   В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём неизвестную сторону.$$AD = 11 + 12 - 7 = 16$$

Высота прямоугольной трапеции

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны, а вписанная окружность касается обоих оснований. Поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 42 = 84$$

Площадь треугольника по радиусу

Периметр треугольника равен 33, одна из сторон равна 7, а радиус вписанной в него окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.

1. 1
   Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр.$$S = r \cdot p$$
2. 2
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{33}{2} = 16{,}5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь квадрата по радиусу

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $3\sqrt{5}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $DO=\dfrac{a}{2}$, а $AD=a$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ADO$ по теореме Пифагора:$$OA^2=AD^2+DO^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол между диаметрами окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $53^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot53^\circ=106^\circ$$
2. 2
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOD=180^\circ-106^\circ=74^\circ$$

Площадь треугольника по радиусу

Периметр треугольника равен 48, одна из сторон равна 18, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{P}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$
2. 2
   Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r \cdot p$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150^\circ$, $AB = 4$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов она связана с радиусом описанной окружности формулой:$$\frac{AB}{\sin C} = 2R$$
2. 2
   Подставим известные значения и учтём, что $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$:$$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$, $BC = 24$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$AB = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150^\circ$, $AB = 26$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По формуле связи стороны и радиуса описанной окружности:$$AB = 2R\sin C$$
2. 2
   Подставим известные значения и учтём, что $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$:$$26 = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$$

Сторона треугольника в окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $14{,}5$. Найдите $AC$, если $BC = 21$.

1. 1
   Так как центр окружности лежит на стороне $AB$, эта сторона является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 14{,}5 = 29$$
2. 2
   Угол $ACB$, опирающийся на диаметр $AB$, прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $69^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником.
2. 2
   В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Стороны описанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. $AB = 6$, $BC = 8$, $CD = 11$. Найдите $AD$.

1. 1
   У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Выразим длину стороны $AD$ и подставим известные значения.$$AD = AB + CD - BC = 6 + 11 - 8 = 9$$

Радиус описанной окружности

Сторона квадрата равна $18\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

1. 1
   Диаметр окружности, описанной около квадрата, совпадает с диагональю квадрата.$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Найдём диагональ квадрата со стороной $18\sqrt{2}$.$$d=18\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=36$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона треугольника по диаметру

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $8{,}5$. Найдите $BC$, если $AC = 8$.

1. 1
   Так как центр окружности лежит на стороне $AB$, отрезок $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 8{,}5 = 17$$
2. 2
   Угол $ACB$, опирающийся на диаметр, прямой. Применим теорему Пифагора в треугольнике $ABC$.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между радиусами

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $19^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 19^\circ = 38^\circ$$
2. 2
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны, поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$$

Высота трапеции по радиусу

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны, а вписанная окружность касается обоих оснований. Поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 30 = 60$$

Угол вписанного четырёхугольника

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $37^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $A$ и $C$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$$

Угол, вписанный в окружность

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $73^\circ$. Ответ дайте в…

1. 1
   Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$: точка $O$ и вершина $C$ находятся по одну сторону от прямой $AB$.
2. 2
   Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Окружность касается обоих параллельных оснований трапеции. Поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 28 = 56$$

Сторона вписанного треугольника

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Найдите сторону треугольника.

1. 1
   Расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника является радиусом его вписанной окружности:$$r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
2. 2
   Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности выражается формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде