Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен 3. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD=\dfrac{a}{2}$, а $AD=a$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOD$ по теореме Пифагора:$$OA^2=AD^2+OD^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Один из углов параллелограмма равен $74^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 74^\circ$$
- 2
Вычислим величину большего угла.$$180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
Острый угол ромба равен $40^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Найдём тупой угол ромба как угол, смежный с острым:$$180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупые углы пополам, поэтому угол между стороной и этой диагональю равен:$$140^\circ : 2 = 70^\circ$$
Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя желі трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим длины оснований в формулу:$$m = \dfrac{11+19}{2} = 15$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $12^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме $BC \parallel AD$, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $12^\circ$.$$\angle DAC = 12^\circ$$
- 2
Так как $AC$ — биссектриса угла $A$, угол $A$ в два раза больше угла между биссектрисой и стороной $AD$.$$\angle A = 2\angle DAC = 2\cdot 12^\circ = 24^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма как сумму двух отмеченных частей:$$a = 12 + 8 = 20$$
- 2
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:$$S = ah = 20 \cdot 5 = 100$$
Один из углов ромба равен $118^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:$$180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба проходит через его острые углы и делит их пополам. Поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $84^\circ$. Найдите угол $ACD$. Жауап дайте в градусах.
- 1
В ромбе соседние углы supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам:$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{96^\circ}{2} = 48^\circ$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $73°$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $19°$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 73^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $19°$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 73^\circ - 19^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции пересекает её среднюю линию и делит её на два отрезка, длины которых равны половинам оснований трапеции.$$l_1 = \frac{1}{2},\quad l_2 = \frac{11}{2}$$
- 2
Больший из полученных отрезков равен половине большего основания.$$l_{\max} = \frac{11}{2} = 5{,}5$$
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
- 1
При опускании высот из концов меньшего основания образуются два равных прямоугольных треугольника. Их вертикальный катет равен высоте трапеции, то есть $5$.
- 2
Угол при основании равен $45^\circ$, поэтому горизонтальный катет каждого треугольника равен$$x=\frac{5}{\tan 45^\circ}=5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AC = 14$, $BD = 18$, $AB = 5$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{18}{2} = 9$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $74^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $58^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому углы при боковой стороне $CD$ являются внутренними односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle BCD = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $BCD$ на угол между диагональю и стороной $CD$, равный $58^\circ$, и искомый угол между диагональю и основанием $BC$.$$\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 106^\circ - 58^\circ = 48^\circ$$
Один из углов параллелограмма равен $26^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим больший угол:$$\beta = 180^\circ - 26^\circ = 154^\circ$$
Один из углов ромба равен $146^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:$$180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острые углы пополам. Значит, угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{34^\circ}{2} = 17^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Диагональ прямоугольника образует угол $51^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника образуют с одной и той же стороной равные по величине углы, расположенные по разные стороны от этой стороны. Поэтому тупой угол между диагоналями равен$$51^\circ + 51^\circ = 102^\circ$$
- 2
Острый угол между диагоналями является смежным с тупым:$$180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 5.
- 1
В равнобедренной трапеции меньшее основание расположено симметрично относительно большего, поэтому горизонтальная проекция диагонали равна сумме меньшего основания и половины разности оснований.$$x = 2 + \dfrac{5 - 2}{2} = 3{,}5$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$. В получившемся прямоугольном треугольнике катет, равный высоте трапеции, и горизонтальная проекция диагонали равны.$$h = x\tan 45^\circ = 3{,}5 \cdot 1 = 3{,}5$$
Площадь параллелограмма равна 30, а две его стороны равны 6 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
- 1
Высоту параллелограмма находим как отношение площади к длине соответствующей стороны.$$h = \dfrac{S}{a}$$
- 2
Для стороны длиной 6 высота равна:$$h_1 = \dfrac{30}{6} = 5$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $61°$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81°$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим…
- 1
Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём известны углы $CDA = 61°$ и $ACD = 81°$.
- 2
Найдём угол $CAD$ по сумме углов треугольника.$$\angle CAD = 180° - 61° - 81° = 38°$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{(7+11) \cdot 7}{2} = \dfrac{18 \cdot 7}{2} = 63$$