Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 36$, $CD = 48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно $24$.
- 1
Пусть $O$ — центр окружности. Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $18$.$$\frac{AB}{2} = 18$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 48^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle NBA$ — вписанный, поэтому дуга $NA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{NA}=2\cdot48^\circ=96^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{NB}=180^\circ-96^\circ=84^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=8$.
- 1
Обозначим через $D$ точку пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$, а через $H$ — основание высоты. Так как $BD:DH=5:3$, то $BH=\dfrac{8}{5}BD$.
- 2
Рассмотрим координаты $B=(0,0)$, $C=(8,0)$, $A=(x,y)$, где $H$ лежит на оси ординат. Используя равенство расстояний от точки $D$ до сторон $AB$ и $AC$, а также условие $BD:DH=5:3$, после преобразований получаем $x=4$. Следовательно…
Ещё 4 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $78^\circ$, угол $CAD$ равен $40^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга $AD$, на которую опирается угол $ABD$, в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot 78^\circ=156^\circ$$
- 2
Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, также в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot 40^\circ=80^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 14. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 14 = 28$$
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $52^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Основания трапеции параллельны: $AD \parallel BC$. Углы $A$ и $B$ являются односторонними при секущей $AB$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$$
Сторона квадрата равна 48. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Вписанная в квадрат окружность касается всех его сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$d = a = 48$$
- 2
Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $6\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен одной трети высоты, поэтому $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$.$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны через радиус и подставим известное значение.$$a = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 18$$
Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника:$$r = \dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{30}{6} = 5$$
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $50^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$$
- 2
Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного.$$\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{130^\circ}{2} = 65^\circ$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132^\circ$, угол $CAD$ равен $80^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме равны $180^\circ$.$$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-132^\circ=48^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол.$$\angle ACD=180^\circ-\angle CAD-\angle ADC=180^\circ-80^\circ-48^\circ=52^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $54^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$$
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $5\sqrt{3}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
Расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника является радиусом вписанной в треугольник окружности.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим известное значение расстояния и найдём сторону треугольника.$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 30$$
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому диагональ равна $5$.$$d = 5$$
- 2
Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По условию одна из сторон равна:$$a = d \sin \alpha = 5 \cdot 0{,}8 = 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 4.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата при радиусе $r = 4$.$$a = 2 \cdot 4 = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна $8\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны:$$d=8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому $d = 25$.
- 2
Синус угла между стороной и диагональю равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Найдём одну из сторон:$$b = d \sin \alpha = 25 \cdot 0{,}28 = 7$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- 1
В первом утверждении равенство только двух соответствующих сторон недостаточно для равенства треугольников: не указан угол между ними или третья сторона.
- 2
В прямоугольном треугольнике сумма углов равна $180^\circ$, один угол равен $90^\circ$, поэтому сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $76^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а сторона $AB$ является секущей. Поэтому внутренние односторонние углы $A$ и $B$ в сумме дают $180^\circ$.$$A+B=180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$B=180^\circ-76^\circ=104^\circ$$
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 25.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата:$$a = 2 \cdot 25 = 50$$
Ещё 1 шаг — в полном решении