В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
Расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника является радиусом его вписанной окружности:$$r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
- 2
Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности выражается формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $54^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный четырёхугольник имеет свойство: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $24\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r = 2\cdot24\sqrt{2}=48\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d=a\sqrt{2}=48\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=96$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $6{,}5$. Найдите $AC$, если $BC = 12$.
- 1
Центр окружности лежит на стороне $AB$, поэтому $AB$ является диаметром окружности.$$AB=2R=2\cdot 6{,}5=13$$
- 2
Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$.$$AC^2+BC^2=AB^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника:$$r = \dfrac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{18}{6} = 3$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $70^\circ$, угол $CAD$ равен $49^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $CAD$ и $CBD$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $CD$, поэтому они равны.$$\angle CBD = \angle CAD = 49^\circ$$
- 2
Луч $BD$ делит угол $ABC$ на углы $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 48. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции, поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 48 = 96$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $59^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 59^\circ = 118^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны, а вписанная окружность касается обоих оснований. Поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 32 = 64$$
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $13:12$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если…
- 1
Обозначим через $H$ основание высоты, проведённой из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. Пусть $\angle A=2\alpha$, а $AB=c$. Введём координаты так, чтобы ось $Ox$ совпадала с биссектрисой угла…
- 2
Тогда координаты точки $B$ имеют вид $B=(c\cos\alpha,c\sin\alpha)$. Направляющий единичный вектор стороны $AC$ равен $(\cos\alpha,-\sin\alpha)$, поэтому основание перпендикуляра $H$ имеет координаты…$$y_B=c\sin\alpha,\qquad y_H=-c\cos 2\alpha\sin\alpha$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 32.
- 1
Сторона квадрата, описанного около окружности, равна диаметру окружности.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата:$$a = 2 \cdot 32 = 64$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $2\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 8$$
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
Расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника является его апофемой. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности в два раза больше апофемы.$$R=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
- 2
Сторона равностороннего треугольника выражается через радиус описанной окружности формулой $a=\sqrt{3}R$.$$a=\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=1$$
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $112^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $A$ и $C$ — противоположные углы вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$$
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $5\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается через сторону формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим значение радиуса и найдём длину стороны:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 30$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $54^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому найдём её величину:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot38^\circ=76^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot54^\circ=108^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $124^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
- 2
Найдём центральный угол $AOB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $25^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому дуга $AD$ вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot25^\circ=50^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому дуга $CD$ равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot41^\circ=82^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих параллельных оснований трапеции. Поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 28 = 56$$
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = d$$
- 2
Диаметр окружности вдвое больше её радиуса:$$h = d = 2r = 2 \cdot 20 = 40$$