Периметр треугольника равен 60, одна из сторон равна 12, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{60}{2} = 30$$
- 2
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r \cdot p$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 12$, $BC = 5$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 32 = 64$$
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
Расстояние от центра $O$ до стороны равностороннего треугольника является радиусом вписанной окружности.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Подставим известное расстояние и найдём сторону треугольника.$$\dfrac{4\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Окружность касается обоих оснований трапеции, поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = d$$
- 2
Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$h = 2r = 2 \cdot 20 = 40$$
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r$$
- 2
Вычислим сторону квадрата:$$a = 2 \cdot 19 = 38$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 7$, $BC = 24$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Так как угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы:$$AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности. $AB = 13$, $BC = 4$, $CD = 11$. Найдите $AD$.
- 1
У трапеции, описанной около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения сторон.$$13 + 11 = 4 + AD$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная в трапецию окружность касается обоих параллельных оснований. Поэтому высота трапеции равна расстоянию между основаниями, то есть диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставляем значение радиуса:$$h = 2 \cdot 38 = 76$$
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $14\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 14\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$$
- 2
Сторона квадрата равна диагонали, делённой на $\sqrt{2}$.$$a = \dfrac{d}{\sqrt{2}} = \dfrac{28\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 28$$
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $68^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Трапеция вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $80^\circ$, угол $CAD$ равен $34^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому дуга $AD$ равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot80^\circ=160^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому дуга $CD$ равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot34^\circ=68^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна $40\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диаметр окружности, описанной около квадрата, равен диагонали квадрата.$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Вычислим диагональ квадрата со стороной $40\sqrt{2}$:$$d=40\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=80$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $56^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный четырёхугольник имеет свойство: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
- 2
Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$$
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=18$.
- 1
Обозначим через $H$ основание высоты, проведённой из вершины $B$, а через $D$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BD:DH=5:4$, поэтому $BD:BH=5:9$.$$BH=BD+DH$$
- 2
Пусть $\angle BAD=\angle DAC=\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $BH$ и биссектрисой $AD$, получаем отношение $BD:BH=\dfrac{1}{2\cos^2\alpha}$.$$\frac{BD}{BH}=\frac{1}{2\cos^2\alpha}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $108^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Следовательно, углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$
- 2
Угол $AOB$ — центральный, а угол $ACB$ — вписанный. Они опираются на одну и ту же дугу $AB$, поэтому вписанный угол в два раза меньше центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{72^\circ}{2} = 36^\circ$$
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 18 = 36$$
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $\frac{5}{13}$. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника, поэтому диагональ равна 13.
- 2
Из определения синуса угла между стороной и диагональю находим одну из сторон прямоугольника:$$b = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сторона квадрата равна $12\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата выражается через его сторону:$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим длину стороны:$$d=12\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\circ$, угол $CAD$ равен $60^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина вдвое больше угла $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot92^\circ=184^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot60^\circ=120^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении