Профильная математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Пусть скорость баржи на пути из A в B равна $x$ км/ч. Тогда время движения из A в B равно:$$\dfrac{288}{x}$$

Скорость на обратном пути равна $x+1$ км/ч, а время обратного пути с учётом остановки составляет:$$\dfrac{288}{x+1}+4$$

Пусть масса первого сплава равна $x$ кг. Тогда масса второго сплава равна $x+90$ кг, а масса третьего сплава — $2x+90$ кг.$$m_1=x,\quad m_2=x+90,\quad m_3=2x+90$$

Составим уравнение по массе меди в сплавах.$$0{,}6x+0{,}1(x+90)=0{,}2(2x+90)$$

Второй автомобиль проехал до встречи расстояние $500-260=240$ км.

Время движения второго автомобиля составляет $240:80=3$ ч.

Пусть всего имеется $4k$ контейнеров. Тогда контейнеров с сахарным песком $k$, а без сахарного песка — $3k$.

Проверим пункт а). Для доли $20\%$ масса контейнеров с сахаром должна составлять одну пятую общей массы. Возьмём $k=2$. Пусть оба контейнера с сахаром имеют массу по 20 тонн. Тогда их масса равна 40 тонн. Среди шести остальных контейнеров…

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на обратном пути равна $x+6$ км/ч.

По условию время движения из А в В равно времени обратного пути с учётом остановки:$$\dfrac{108}{x}=\dfrac{108}{x+6}+3$$

Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $9-x$, а по течению — $9+x$.

Время движения против течения равно $\dfrac{72}{9-x}$, а время движения по течению — $\dfrac{72}{9+x}$. По условию обратный путь занял на 6 часов меньше:$$\dfrac{72}{9-x} - \dfrac{72}{9+x} = 6$$

Производительность первого мастера равна $\dfrac{1}{40}$ заказа в час, а второго — $\dfrac{1}{24}$ заказа в час.$$\frac{1}{40},\quad \frac{1}{24}$$

При совместной работе производительности складываются:$$\frac{1}{40}+\frac{1}{24}=\frac{3}{120}+\frac{5}{120}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$$

Пусть первый рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда второй рабочий изготавливает $x-7$ деталей в час.

Время выполнения заказа первым рабочим равно $\dfrac{198}{x}$ часов, а вторым — $\dfrac{198}{x-7}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 7 часов больше:$$\dfrac{198}{x-7}-\dfrac{198}{x}=7$$

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость по течению равна $x+4$, а против течения — $x-4$.$$x+4,\quad x-4$$

На стоянку ушло 5 часов, поэтому суммарное время движения теплохода равно $10-5=5$ часов.$$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=5$$

Плот движется со скоростью течения, поэтому время его движения до возвращения яхты равно:$$t_{\text{плота}}=\frac{92}{4}=23\ \text{ч}$$

Яхта отправилась через 3 часа после плота, значит, она находилась в пути:$$t_{\text{яхты}}=23-3=20\ \text{ч}$$

Пусть скорость второго теплохода равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого теплохода равна $x-2$ км/ч.

Время движения первого теплохода на 2 часа больше времени движения второго:$$\dfrac{323}{x-2}=\dfrac{323}{x}+2$$

Найдём общий путь автомобиля:$$S = 120 + 200 + 160 = 480\ \text{км}$$

Вычислим время движения на каждом участке и сложим его:$$t = \dfrac{120}{60} + \dfrac{200}{100} + \dfrac{160}{120} = 2 + 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3}\ \text{ч}$$

Первый мастер выполняет за один час $\dfrac{1}{42}$ заказа, а второй — $\dfrac{1}{21}$ заказа.$$\frac{1}{42} + \frac{1}{21}$$

Найдём совместную производительность мастеров:$$\frac{1}{42} + \frac{1}{21} = \frac{1}{42} + \frac{2}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$$

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого равна $x+2$ км/ч.

Время второго велосипедиста на дистанции 80 км равно $\dfrac{80}{x}$ ч, а время первого — $\dfrac{80}{x+2}$ ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения. Тогда скорость лодки против течения равна $9-x$, а по течению — $9+x$.

Время движения против течения на 4 часа больше времени движения по течению:$$\dfrac{77}{9-x}-\dfrac{77}{9+x}=4$$

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки против течения равна $8-x$, а по течению — $8+x$.

Время движения против течения на 8 часов больше времени движения по течению.$$\dfrac{48}{8-x}-\dfrac{48}{8+x}=8$$

Пусть скорость первого теплохода равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго теплохода равна $x+2$ км/ч.

Время движения первого теплохода равно $\dfrac{168}{x}$ ч, а второго — $\dfrac{168}{x+2}$ ч. Первый теплоход был в пути на 2 часа дольше.$$\dfrac{168}{x}-\dfrac{168}{x+2}=2$$

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+9$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{220}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{220}{x+9}$ ч. По условию разность времён составляет 9 часов:$$\dfrac{220}{x}-\dfrac{220}{x+9}=9$$

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению равна $22+x$ км/ч, а против течения — $22-x$ км/ч.

Время движения теплохода без стоянки составляет $47-3=44$ часа. Составим уравнение:$$\frac{468}{22+x}+\frac{468}{22-x}=44$$

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+8$ км/ч.$$x>0$$

Время движения второго велосипедиста на 9 часов больше времени движения первого.$$\dfrac{144}{x}-\dfrac{144}{x+8}=9$$