Профильная математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{6x+57}=9$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$6x+57=9^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$6x+57=81,\quad 6x=24,\quad x=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость распространения сигнала

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ соответственно, частота звукового сигнала $f$…

1. 1
   Подставим в формулу значения частоты, скорости источника и скорости приёмника:$$170=160\cdot\dfrac{c+8}{c-11}$$
2. 2
   Сократим отношение частот $170:160$ и перемножим полученное равенство крест-накрест:$$\dfrac{17}{16}=\dfrac{c+8}{c-11},\quad 16(c+8)=17(c-11)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сопротивление нагрузки по напряжению

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 130\ \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r = 1\ \text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в омах). Напряжение (в вольтах) на этой нагрузке…

1. 1
   Подставим в формулу $U = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$ значения $U = 120$, $\varepsilon = 130$ и $r = 1$:$$120 = \dfrac{130R}{R + 1}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $R + 1$:$$120(R + 1) = 130R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сопротивление при параллельном соединении

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_1 = 36\ \text{Ом}$. Параллельно с ней предполагается подключить электрообогреватель с сопротивлением $R_2$…

1. 1
   Подставим значение сопротивления духовки и требование к общему сопротивлению:$$\dfrac{36R_2}{36 + R_2} \geq 20$$
2. 2
   Так как сопротивление электрообогревателя положительно, умножаем на положительное число $36 + R_2$:$$36R_2 \geq 20(36 + R_2)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{76 - 2x} = 8$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$76 - 2x = 8^2 = 64$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$2x = 76 - 64 = 12,\quad x = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{22 - 3x} = 2$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$22 - 3x = 2^2$$
2. 2
   Решаем получившееся линейное уравнение:$$22 - 3x = 4 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{8x-20}=2$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$8x-20=2^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$8x-20=4 \Rightarrow 8x=24 \Rightarrow x=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Путь автомобиля при разгоне

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 4500\ \text{км}/\text{ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный…

1. 1
   Возводим формулу скорости в квадрат и выражаем пройденный путь.$$v^2 = 2la,\qquad l = \dfrac{v^2}{2a}$$
2. 2
   Подставляем $v = 90$ км/ч и $a = 4500\ \text{км}/\text{ч}^2$.$$l = \dfrac{90^2}{2 \cdot 4500} = \dfrac{8100}{9000} = 0.9$$

Разгон мотоциклиста

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60\ \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18\ \text{км/ч}^2$. Расстояние (в км)…

1. 1
   Подставим в формулу $S = v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ значения $S = 21$, $v_0 = 60$ и $a = 18$.$$21 = 60t + \dfrac{18t^2}{2}$$
2. 2
   Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения.$$9t^2 + 60t - 21 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Время удаления от города

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 70$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16$ км/ч$^2$. Расстояние $S$ в километрах от…

1. 1
   Подставим в формулу $S = v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ значения $S = 123$, $v_0 = 70$ и $a = 16$.$$123 = 70t + \dfrac{16t^2}{2}$$
2. 2
   Приведём уравнение к стандартному виду.$$8t^2 + 70t - 123 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость изготовления деталей

Заказ на изготовление 323 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 2 детали…

1. 1
   Пусть первый рабочий изготавливает $x$ деталей за час. Тогда второй изготавливает $x-2$ деталей за час.
2. 2
   Время выполнения заказа первым рабочим равно $\dfrac{323}{x}$ часов, а вторым — $\dfrac{323}{x-2}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 2 часа больше:$$\dfrac{323}{x-2}-\dfrac{323}{x}=2$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Движение теплохода по реке

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч…

1. 1
   Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость по течению равна $x+2$ км/ч, а скорость против течения — $x-2$ км/ч.
2. 2
   Составим уравнение по условию задачи:$$\dfrac{80}{x+2}+4+\dfrac{80}{x-2}=13$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Производительность рабочих

Заказ на изготовление 209 деталей первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 8…

1. 1
   Пусть второй рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда первый изготавливает $x+8$ деталей в час.
2. 2
   Время изготовления заказа вторым рабочим равно $\dfrac{209}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{209}{x+8}$ часов. Первый выполняет заказ на 8 часов быстрее.$$\dfrac{209}{x} - \dfrac{209}{x+8} = 8$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Вычислим общий путь автомобиля:$$S = 115 \cdot 1 + 45 \cdot 3 + 40 \cdot 2 = 460\ \text{км}$$
2. 2
   Общее время движения равно:$$t = 1 + 3 + 2 = 6\ \text{ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа — со скоростью 105 км/ч, а затем три часа — со скоростью 65 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём расстояние, пройденное на каждом участке пути:$$s_1 = 120 \cdot 1 = 120\text{ км},\quad s_2 = 105 \cdot 3 = 315\text{ км},\quad s_3 = 65 \cdot 3 = 195\text{ км}$$
2. 2
   Определим общий путь и общее время движения:$$S = 120 + 315 + 195 = 630\text{ км},\quad t = 1 + 3 + 3 = 7\text{ ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость теплохода

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 567 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч…

1. 1
   Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость по течению равна $x+3$ км/ч, а скорость против течения — $x-3$ км/ч.$$x>3$$
2. 2
   Время движения теплохода по течению и против течения вместе составляет $54-6=48$ часов.$$\dfrac{567}{x+3}+\dfrac{567}{x-3}=48$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Задача о двух трубах

Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем…

1. 1
   Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает $x-6$ литров в минуту.
2. 2
   Время заполнения резервуара первой трубой на 6 минут больше времени заполнения второй трубы.$$\dfrac{112}{x-6}-\dfrac{112}{x}=6$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Движение теплохода по реке

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 27 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 5…

1. 1
   Найдём время движения теплохода без стоянки:$$32-5=27\text{ ч}$$
2. 2
   Скорость теплохода по течению равна $28$ км/ч, а против течения — $26$ км/ч.$$v_{\text{по течению}}=27+1=28,\quad v_{\text{против течения}}=27-1=26$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Скорость течения реки

Моторная лодка прошла против течения реки 280 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 14 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна…

1. 1
   Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки против течения равна $15-x$, а по течению — $15+x$.$$v_{\text{пр}}=15-x,\quad v_{\text{по}}=15+x$$
2. 2
   Время движения против течения на 14 часов больше времени движения по течению.$$\frac{280}{15-x}-\frac{280}{15+x}=14$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость первого велосипедиста

Два велосипедиста одновременно отправились в 190-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость…

1. 1
   Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+9$ км/ч.
2. 2
   Время движения второго велосипедиста на 9 часов больше времени движения первого.$$\dfrac{190}{x} - \dfrac{190}{x+9} = 9$$

Ещё 3 шага — в полном решении