Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 90 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он…
- 1
Пусть скорость велосипедиста из города А в город В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на обратном пути равна $x+6$ км/ч.
- 2
Время пути из А в В равно $\dfrac{90}{x}$ часов, а время обратного пути с учётом остановки — $\dfrac{90}{x+6}+4$ часов.
Ещё 4 шага — в полном решении
Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 285 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем…
- 1
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+4$ литров в минуту.
- 2
Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{285}{x}$ минут, а второй — $\dfrac{285}{x+4}$ минут. По условию первая труба работает на 4 минуты дольше:$$\dfrac{285}{x}-\dfrac{285}{x+4}=4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Призёрами городской олимпиады по математике стали 6 учеников, что составило 5% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
- 1
Пусть $x$ — число участников олимпиады. По условию 5% от этого числа составляют 6 человек.$$0{,}05x = 6$$
- 2
Найдём общее число участников.$$x = \dfrac{6}{0{,}05} = 120$$
Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 140 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Найдём весь пройденный путь:$$S = 200 + 180 + 140 = 520\ \text{км}$$
- 2
Вычислим общее время движения:$$t = \dfrac{200}{60} + \dfrac{180}{90} + \dfrac{140}{120} = \dfrac{10}{3} + 2 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{13}{2}\ \text{ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40% меди, второй — 25% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35% меди. Найдите…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса первого сплава равна $x+10$ кг, а масса третьего сплава — $2x+10$ кг.
- 2
Составим уравнение по массе меди в полученном сплаве.$$0{,}4(x+10)+0{,}25x=0{,}35(2x+10)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 180 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость по течению равна $x+1$ км/ч, а скорость против течения — $x-1$ км/ч.
- 2
На стоянку затрачивается 1 час, поэтому суммарное время движения составляет $20-1=19$ часов.$$\dfrac{180}{x+1}+\dfrac{180}{x-1}=19$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 264 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась тем же путём обратно со…
- 1
Пусть скорость баржи на пути из A в B равна $x$ км/ч. Тогда время движения туда равно $\dfrac{264}{x}$ ч.
- 2
Скорость на обратном пути равна $x+2$ км/ч, а с учётом остановки 1 час время обратного пути составляет $\dfrac{264}{x+2}+1$ ч.
Ещё 3 шага — в полном решении
Два велосипедиста одновременно отправились в 112-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого, который приехал раньше, равна $x+2$ км/ч.
- 2
Время движения второго велосипедиста на 1 час больше времени движения первого.$$\dfrac{112}{x} - \dfrac{112}{x+2} = 1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2…
- 1
Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $v-2$, а по течению — $v+2$.
- 2
Время движения против течения на 4 часа больше времени движения по течению.$$\dfrac{117}{v-2}-\dfrac{117}{v+2}=4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1…
- 1
Пусть $v$ — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$ км/ч, а по течению — $v+1$ км/ч.
- 2
Время движения против течения на 2 часа больше времени движения по течению:$$\dfrac{255}{v-1}-\dfrac{255}{v+1}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 250…
- 1
Найдём относительную скорость поездов при движении навстречу:$$v_{\text{отн}}=85+35=120\text{ км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду:$$120\cdot\frac{1000}{3600}=\frac{100}{3}\text{ м/с}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Уля — за 120 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Юля?
- 1
Пусть Юля пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту, а производительность Ули — $\dfrac{1}{120}$.$$\frac{1}{x} + \frac{1}{120} = \frac{1}{24}$$
- 2
Найдём производительность Юли:$$\frac{1}{x} = \frac{1}{24} - \frac{1}{120} = \frac{5-1}{120} = \frac{1}{30}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй — 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30 % кислоты. Если же смешать равные…
- 1
Пусть $x$ — доля кислоты в первом растворе, а $y$ — доля кислоты во втором растворе.$$x=\frac{p_1}{100},\quad y=\frac{p_2}{100}$$
- 2
При смешивании равных масс растворов концентрация равна среднему арифметическому концентраций.$$\frac{x+y}{2}=0{,}36,\quad x+y=0{,}72$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 609 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч…
- 1
Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $25+x$, а против течения — $25-x$.
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{609}{25+x}$, а время движения против течения — $\dfrac{609}{25-x}$. Составим уравнение с учётом стоянки:$$\dfrac{609}{25+x}+1+\dfrac{609}{25-x}=51$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?
- 1
Первый мастер выполняет за час $\dfrac{1}{36}$ заказа, а второй — $\dfrac{1}{12}$ заказа.$$\dfrac{1}{36} \text{ и } \dfrac{1}{12}$$
- 2
Их совместная производительность равна сумме производительностей.$$\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{9}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста. Тогда скорость первого равна $x+6$ км/ч.$$x>0$$
- 2
Время второго велосипедиста на дистанции равно $\dfrac{160}{x}$, а время первого — $\dfrac{160}{x+6}$. По условию второй ехал на 6 часов дольше.$$\dfrac{160}{x}-\dfrac{160}{x+6}=6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Заказ на изготовление 192 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 4…
- 1
Пусть второй рабочий изготавливает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий изготавливает $x+4$ деталей в час.
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{192}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{192}{x+4}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 4 часа больше.$$\dfrac{192}{x}-\dfrac{192}{x+4}=4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+4$ км/ч.
- 2
Время движения первого велосипедиста на 4 часа меньше времени движения второго:$$\dfrac{140}{x}-\dfrac{140}{x+4}=4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 40 км от А. Пробыв 3 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:00 того же дня. Определите…
- 1
От 10:00 до 16:00 прошло 6 часов. Три часа катер стоял в пункте В, поэтому время движения составило $6-3=3$ часа.$$t_{\text{движ}}=16-10-3=3$$
- 2
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна $x+3$, а скорость против течения — $x-3$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Два велосипедиста одновременно отправились в 70-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+4$ км/ч.
- 2
Время движения второго велосипедиста на 2 часа больше времени движения первого:$$\dfrac{70}{x} - \dfrac{70}{x+4} = 2$$
Ещё 3 шага — в полном решении