Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $9^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как треугольник $ABC$ прямоугольный при $C$, его острые углы в сумме дают $90^\circ$. Поэтому $\angle A = 90^\circ - 9^\circ = 81^\circ$.$$\angle A = 90^\circ - \angle B = 81^\circ$$
- 2
Медиана $CM$ к гипотенузе образует с катетом $CA$ угол, равный $\angle A$, то есть $81^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите величину центрального угла, если он на $69^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла.$$C = 2I$$
- 2
По условию центральный угол на $69^\circ$ больше вписанного.$$C = I + 69$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $5\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{8}\cdot\cos\frac{3\pi}{8}$.
- 1
Применим формулу двойного угла для синуса:$$2\sin x\cos x=\sin 2x$$
- 2
Преобразуем исходное выражение:$$5\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\sin\frac{3\pi}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $\sqrt{2}-2\sqrt{2}\sin^2\dfrac{15\pi}{8}$.
- 1
Вынесем множитель $\sqrt{2}$ за скобки и применим формулу двойного угла.$$\sqrt{2}-2\sqrt{2}\sin^2\dfrac{15\pi}{8}=\sqrt{2}\left(1-2\sin^2\dfrac{15\pi}{8}\right)=\sqrt{2}\cos\dfrac{15\pi}{4}$$
- 2
Сократим аргумент косинуса с учётом периода $2\pi$.$$\cos\dfrac{15\pi}{4}=\cos\left(\dfrac{15\pi}{4}-2\pi\right)=\cos\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{8}\cdot\cos\frac{7\pi}{8}$.
- 1
Применим формулу произведения синуса и косинуса.$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$
- 2
Подставим $x=\frac{7\pi}{8}$ и вычислим синус получившегося угла.$$\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{8}\cos\frac{7\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}$$
Найдите значение выражения $2\sqrt{3}\cos^2\frac{13\pi}{12}-\sqrt{3}$.
- 1
Применим формулу двойного угла для квадрата косинуса:$$\cos^2\frac{13\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{13\pi}{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Подставим найденное значение в исходное выражение:$$2\sqrt{3}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{2}-\sqrt{3}=\frac{3}{2}$$
В треугольнике сторона равна, угол равен. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Для стороны треугольника, противолежащей углу, применяем теорему синусов.$$a = 2R\sin\alpha$$
- 2
Выражаем радиус описанной окружности.$$R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Угол $\angle ACO$ равен $62^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$. Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности…
- 1
Радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $CA$, поэтому $\angle OAC = 90^\circ$.$$OA \perp CA$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOC$ и найдём угол при вершине $O$.$$\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2}\sin^2\frac{7\pi}{8}$.
- 1
Сначала заменим угол, используя формулу приведения:$$\sin\frac{7\pi}{8}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)=\sin\frac{\pi}{8}$$
- 2
Вычислим квадрат синуса половинного угла:$$\sin^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $\dfrac{8\sin 64^\circ \cdot \cos 64^\circ}{\sin 128^\circ}$.
- 1
Применим формулу синуса двойного угла:$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$
- 2
При $x=64^\circ$ получаем:$$2\sin 64^\circ\cos 64^\circ=\sin 128^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $24$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.
- 1
Трапеция $BCDE$ является частью параллелограмма, оставшейся после удаления треугольника $ABE$.$$S_{BCDE}=S_{ABCD}-S_{ABE}$$
- 2
Поскольку $E$ — середина стороны $AD$, отрезок $AE$ вдвое меньше $AD$. При одинаковой высоте к прямой $AB$ площадь треугольника $ABE$ составляет четверть площади параллелограмма.$$S_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AE}{AD}\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot24=6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, угол $C$ равен $168^\circ$, угол $CBD$ внешний. Найдите величину угла $CBD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.$$\angle A = \angle B = \dfrac{180^\circ - 168^\circ}{2} = 6^\circ$$
- 2
Углы $ABC$ и $CBD$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle CBD = 180^\circ - 6^\circ = 174^\circ$$
В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен $22$, вписана окружность, $AB = 8$. Найдите длину стороны $CD$.
- 1
В описанном четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны:$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Каждая из этих сумм равна половине периметра:$$AB + CD = \frac{22}{2} = 11$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центральный угол на $32^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим величину вписанного угла через $x$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $2x$.$$\alpha_{\text{ц}} = 2x$$
- 2
По условию центральный угол на $32^\circ$ больше вписанного.$$2x = x + 32$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго равна $x-5$ км/ч.
- 2
Время движения первого велосипедиста равно $\dfrac{90}{x}$ часов, а второго — $\dfrac{90}{x-5}$ часов. По условию второй ехал на 3 часа дольше:$$\dfrac{90}{x-5}-\dfrac{90}{x}=3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон треугольника.
- 1
Выразим площадь треугольника через большую сторону и высоту, опущенную на неё.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10$$
- 2
Выразим ту же площадь через меньшую сторону 15 и искомую высоту $h$.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центральный угол на $29^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим величину вписанного угла через $x$ градусов. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $2x$.$$\alpha_{\text{ц}} = 2x$$
- 2
По условию центральный угол на $29^\circ$ больше вписанного.$$2x = x + 29$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 10$, $BC = 6$, $CD = 15$. Найдите длину четвёртой стороны четырёхугольника.
- 1
Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон и найдём сторону $AD$:$$AD = 10 + 15 - 6 = 19$$
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Известно, что $AB = 6$, $BC = 4$, $CD = 9$. Найдите длину четвёртой стороны четырёхугольника.
- 1
В четырёхугольник вписана окружность, поэтому суммы длин его противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём четвёртую сторону.$$6 + 9 = 4 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 10$, $CD = 17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.
- 1
В описанном четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Найдём сумму длин двух противоположных сторон:$$AB + CD = 10 + 17 = 27$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде