Задание 10 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Время торможения автомобиля

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 15\ \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2\ \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь…

1. 1
   Подставим $v_0 = 15$, $a = 2$ и $S = 36$ в формулу пути:$$36 = 15t - \frac{2t^2}{2}$$
2. 2
   Преобразуем уравнение:$$t^2 - 15t + 36 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Путь автомобиля при разгоне

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 3500\ \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный…

1. 1
   Возведём формулу скорости в квадрат и выразим пройденный путь:$$v^2 = 2la, \qquad l = \frac{v^2}{2a}$$
2. 2
   Подставим $v = 70$ км/ч и $a = 3500\ \text{км/ч}^2$:$$l = \frac{70^2}{2 \cdot 3500} = \frac{4900}{7000} = 0{,}7$$

Время на высоте не менее шести

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1{,}6+13t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет…

1. 1
   Запишем условие нахождения мяча на высоте не менее 6 метров:$$1{,}6+13t-5t^2\geqslant 6$$
2. 2
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$-5t^2+13t-4{,}4\geqslant 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние до лампочки

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в…

1. 1
   Подставим $f = 30$ в формулу тонкой линзы и выразим расстояние $d_1$:$$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2} = \frac{d_2 - 30}{30d_2},\quad d_1 = \frac{30d_2}{d_2 - 30}$$
2. 2
   На отрезке $160 \leq d_2 \leq 180$ функция $d_1 = \dfrac{30d_2}{d_2 - 30}$ убывает, поэтому наименьшее значение достигается при $d_2 = 180$ см.$$d_1 = \frac{30 \cdot 180}{180 - 30} = \frac{5400}{150} = 36$$

Минимальная скорость тепловоза

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше…

1. 1
   По условию частоты должны отличаться не менее чем на 5 Гц. Так как частота второго гудка больше первой, составим неравенство:$$\dfrac{295}{1 - \dfrac{v}{300}} - 295 \geq 5$$
2. 2
   Перенесём 295 в правую часть:$$\dfrac{295}{1 - \dfrac{v}{300}} \geq 300$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{5x - 1} = 7$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$5x - 1 = 7^2 = 49$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$5x = 50,\quad x = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разрядка конденсатора

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 8 \cdot 10^{-6}\ \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R = 5 \cdot 10^6\ \text{Ом}$. Во время работы…

1. 1
   Вычислим коэффициент перед логарифмом:$$\alpha RC = 1{,}5 \cdot 5 \cdot 10^6 \cdot 8 \cdot 10^{-6} = 60$$
2. 2
   Подставим время разрядки в формулу:$$180 = 60\log_2\frac{56}{U}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Температура звезды

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P=\sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт)…

1. 1
   Из закона Стефана–Больцмана выразим температуру в четвёртой степени.$$T^4=\dfrac{P}{\sigma S}$$
2. 2
   Подставим известные значения и сократим множители $5{,}7$.$$T^4=\frac{5{,}7\cdot10^{26}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac{1}{2401}\cdot10^{22}}=2401\cdot10^{12}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ускорение автомобиля по скорости

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в км/ч$^2$). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь…

1. 1
   Подставим в формулу скорость $v = 70$ км/ч и путь $l = 0{,}5$ км:$$70 = \sqrt{2 \cdot 0{,}5 \cdot a}$$
2. 2
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$70^2 = 2 \cdot 0{,}5 \cdot a$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разрядка конденсатора

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 5 \cdot 10^{-6}\ \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R = 3 \cdot 10^6\ \text{Ом}$. Во время работы…

1. 1
   Вычислим произведение $\alpha RC$:$$\alpha RC = 1{,}5 \cdot 3 \cdot 10^6 \cdot 5 \cdot 10^{-6} = 22{,}5$$
2. 2
   Подставим время $t = 90$ секунд в формулу:$$90 = 22{,}5\log_2\dfrac{32}{U}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{57 - 7x} = 6$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$57 - 7x = 6^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$57 - 7x = 36 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сопротивление нагрузки по напряжению

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 180\ \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r = 1\ \text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в омах). Напряжение (в вольтах) на этой нагрузке…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу напряжения:$$170 = \dfrac{180R}{R+1}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $R+1$:$$170(R+1)=180R$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{7x-31}=2$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$7x-31=2^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$7x-31=4 \Rightarrow 7x=35 \Rightarrow x=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень иррационального уравнения

Найдите корень уравнения $\sqrt{63 - 9x} = 3$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$63 - 9x = 3^2$$
2. 2
   Решим получившееся линейное уравнение:$$63 - 9x = 9 \Rightarrow 9x = 54 \Rightarrow x = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Время полёта мяча

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1{,}4+9t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться…

1. 1
   Найдём моменты времени, когда мяч находится на высоте 3 метра:$$1{,}4+9t-5t^2=3$$
2. 2
   Преобразуем уравнение:$$5t^2-9t+1{,}6=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Ускорение автомобиля по формуле

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в км/ч^2). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в…

1. 1
   Возведём формулу скорости в квадрат:$$v^2 = 2la$$
2. 2
   Выразим ускорение:$$a = \dfrac{v^2}{2l}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Время наматывания кабеля

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону…

1. 1
   Подставим в формулу значения угла, начальной угловой скорости и углового ускорения:$$2500 = 50t + \dfrac{4t^2}{2}$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение:$$t^2 + 25t - 1250 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Время намотки кабеля

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону…

1. 1
   Подставим в закон движения значения угла, начальной угловой скорости и углового ускорения:$$2250 = 15t + \dfrac{6t^2}{2}$$
2. 2
   Упростим уравнение:$$3t^2 + 15t - 2250 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём воздуха после сжатия

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 3$ моль воздуха объёмом $V_1 = 16$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ л. Работа…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу работы:$$26730 = 9{,}9 \cdot 3 \cdot 300 \cdot \log_2\dfrac{16}{V_2}$$
2. 2
   Вычислим коэффициент и найдём значение логарифма:$$9{,}9 \cdot 3 \cdot 300 = 8910, \qquad \log_2\dfrac{16}{V_2} = \dfrac{26730}{8910} = 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Давление при сжатии газа

Водолазный колокол, содержащий $\nu$ моль воздуха при давлении $p_1 = 11$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу значения $\alpha$, $\nu$, $T$ и $A$:$$26100=5{,}8\cdot1\cdot300\cdot\log_2\frac{p_2}{11}$$
2. 2
   Найдём значение логарифма:$$\log_2\frac{p_2}{11}=\frac{26100}{5{,}8\cdot300}=15$$

Ещё 2 шага — в полном решении