Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{7}\right)^{5x-8}=\dfrac{1}{49}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\dfrac{1}{7}$:$$\dfrac{1}{49}=\left(\dfrac{1}{7}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней равны, поэтому приравниваем показатели:$$5x-8=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{-x-2}=27^{3x+4}$.

1. 1
   Представим основания степеней через число $3$:$$\left(\frac{1}{3}\right)^{-x-2}=\left(3^{-1}\right)^{-x-2}=3^{x+2},\quad 27^{3x+4}=\left(3^3\right)^{3x+4}=3^{9x+12}$$
2. 2
   Так как основания одинаковы, приравняем показатели степеней:$$x+2=9x+12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{1,4}(4x+10)-\log_{1,4}2=\log_{1,4}8$.

1. 1
   Объединим разность логарифмов:$$\log_{1,4}\left(\frac{4x+10}{2}\right)=\log_{1,4}8$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы и $1,4>0$, $1,4\ne1$, приравняем аргументы:$$\frac{4x+10}{2}=8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-x}=64$.

1. 1
   Представим левую часть и число $64$ как степени числа $4$:$$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-x}=\left(4^{-1}\right)^{3-x}=4^{x-3},\quad 64=4^3$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$x-3=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{2x+3}=5^{x+7}$.

1. 1
   Основания степеней равны: $5>0$ и $5\ne1$, поэтому показатели степеней можно приравнять.$$2x+3=x+7$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$2x-x=7-3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $6^{2x-6} \cdot 6^{5-3x} = 216$.

1. 1
   Представим число $216$ как степень числа $6$:$$216 = 6^3$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$6^{2x-6} \cdot 6^{5-3x} = 6^{(2x-6)+(5-3x)} = 6^{-x-1}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1-x}=4$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\dfrac{1}{2}$:$$4=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием:$$1-x=-2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{7}(8 - 2x) - \log_{7}8 = \log_{7}\dfrac{1}{40}$.

1. 1
   Объединим логарифмы в левой части:$$\log_{7}\dfrac{8 - 2x}{8} = \log_{7}\dfrac{1}{40}$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем аргументы:$$\dfrac{8 - 2x}{8} = \dfrac{1}{40}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{-3x+1} \cdot 2^{-x-5} = \dfrac{1}{64}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень двойки:$$\dfrac{1}{64}=2^{-6}$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$2^{-3x+1}\cdot 2^{-x-5}=2^{-4x-4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $6^{x-12} = \dfrac{1}{36}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $6$.$$\dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{6^2} = 6^{-2}$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием.$$x - 12 = -2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{4x-5}=5^{3x-2}$.

1. 1
   Основания степеней равны и больше единицы, поэтому приравниваем показатели:$$4x-5=3x-2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$4x-3x=5-2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{-4x-3}\cdot 2^{2x+3}=16$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $2$:$$16=2^4$$
2. 2
   Сложим показатели степеней в левой части:$$2^{-4x-3}\cdot 2^{2x+3}=2^{-4x-3+2x+3}=2^{-2x}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $8^{9+x}=64$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $8$:$$64=8^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$9+x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $13^{2x+3} \cdot 13^{-4x-11} = 169$.

1. 1
   Преобразуем правую часть уравнения к основанию $13$: $169=13^2$.$$13^{2x+3} \cdot 13^{-4x-11}=13^2$$
2. 2
   Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием и решаем полученное уравнение относительно $x$.$$x=-2$$

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{x+2}=27^{4-x}$.

1. 1
   Представим число $27$ в виде степени числа $3$:$$27=3^3$$
2. 2
   Преобразуем правую часть уравнения:$$27^{4-x}=(3^3)^{4-x}=3^{3(4-x)}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{6}(4x+21)=\log_{6}9$.

1. 1
   Так как основания логарифмов одинаковы и равны $6$, приравняем аргументы:$$4x+21=9$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$4x=9-21=-12$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $7^{-x+2} = \dfrac{1}{49}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени числа $7$:$$\dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{7^2} = 7^{-2}$$
2. 2
   Приравняем показатели степеней с одинаковым основанием:$$-x + 2 = -2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-11}=\frac{1}{8}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $\frac{1}{2}$:$$\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^3$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$x-11=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{-x+2} = \dfrac{1}{25}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $5$:$$\dfrac{1}{25} = \dfrac{1}{5^2} = 5^{-2}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравниваем показатели:$$-x + 2 = -2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $9^{6+x}=81$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени числа $9$:$$81=9^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$6+x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении