Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Числовые выражения» — с ответами

Вычисление числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{11}{5} - 2{,}4 - \dfrac{3}{20}$.

1. 1
   Преобразуем обыкновенные дроби в десятичные:$$\dfrac{11}{5}=2{,}2,\quad \dfrac{3}{20}=0{,}15$$
2. 2
   Подставим полученные значения и выполним вычитание:$$2{,}2-2{,}4-0{,}15=-0{,}2-0{,}15=-0{,}35$$

Числа и числовые отрезки

Установите соответствие между числами и отрезками: каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит.

1. 1
   Для числа А: так как $5^1<7<5^2$, то $1<\log_5 7<2$. Значит, число принадлежит отрезку 2.$$А\to 2$$
2. 2
   Для числа Б: $\dfrac{17}{6}=2\dfrac{5}{6}$, поэтому $2<\dfrac{17}{6}<3$. Значит, число принадлежит отрезку 3.$$Б\to 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

На прямой отмечены числа $m$ и $n$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

1. 1
   По положению точек $m$ и $n$ на числовой прямой оцениваем значения выражений из левого столбца.
2. 2
   Для первого выражения применяем разность квадратов: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Полученное число принадлежит отрезку $[3;4]$, поэтому А — 4.$$m^2-n^2\in[3;4]$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{3}$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

1. 1
   Подставим $m=\sqrt{3}$ и определим положение каждого числа.
2. 2
   Для пункта А: $m+1=\sqrt{3}+1\approx2{,}73$, поэтому число принадлежит отрезку $[2;3]$ — номер 2.$$m+1=\sqrt{3}+1\approx2{,}73$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Числа и числовые отрезки

Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Оценим первое выражение:$$\sqrt{10}+\sqrt{2}\approx3{,}16+1{,}41=4{,}57\in[4;5]$$
2. 2
   Упростим второе выражение:$$\sqrt{10}:\sqrt{2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}\approx2{,}24\in[2;3]$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Числа и числовые отрезки

Установите соответствие между четырьмя числами и отрезками, которым они принадлежат.

1. 1
   Оценим выражение А:$$\sqrt{5}+\sqrt{2}\approx2{,}236+1{,}414\approx3{,}65\in[3;4]$$
2. 2
   Оценим выражение Б:$$\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{\frac{5}{2}}\approx4{,}74\in[4;5]$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Числа на отрезках

На числовой прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   По числовой прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=-1{,}5$$
2. 2
   Вычислим значение первого выражения:$$3-m=3-(-1{,}5)=4{,}5\in[4;5]$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие чисел точкам

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Оценим первое число: так как $2^5=32<35<64=2^6$, то $\log_{2}35$ немного больше $5$.
2. 2
   Вычислим второе число: $\dfrac{7}{4}=1{,}75$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Числа и отрезки

Установите соответствие между четырьмя числами и отрезками, которым они принадлежат.

1. 1
   Оценим логарифм: $2^5=32<35<64=2^6$, поэтому $5<\log_2 35<6$.$$А \to 4$$
2. 2
   Вычислим дробь: $\dfrac{7}{4}=1{,}75$, следовательно, число принадлежит отрезку $[1;2]$.$$Б \to 1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

На числовой прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

1. 1
   По рисунку число $m$ расположено между $1$ и $2$, причём $1<m<2$.$$1<m<2$$
2. 2
   Вычитаем единицу и учитываем возрастание квадратного корня:$$0<\sqrt{m}-1<1$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Сравнение числовых выражений

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Оценим первое число: так как $3^0 < 2 < 3^1$, то $0 < \log_3 2 < 1$.$$0 < \log_3 2 < 1$$
2. 2
   Для третьего числа имеем $1 < \sqrt{3{,}5} < 2$, поскольку $1^2 < 3{,}5 < 2^2$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Вычислим значение выражения в пункте А:$$2m-5=2\sqrt{2}-5\approx2\cdot1{,}414-5\approx-2{,}17\in[-3;-2]$$
2. 2
   Вычислим значение выражения в пункте Б:$$m^3=(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\approx2{,}83\in[2;3]$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соотнесение чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{6}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Для пункта А подставим $m=\sqrt{6}$ и оценим значение.$$-\sqrt{m}=-\sqrt[4]{6}\approx-1{,}57\in[-2;-1]$$
2. 2
   В пункте Б квадрат числа $m$ равен шести.$$m^2-3{,}5=(\sqrt{6})^2-3{,}5=6-3{,}5=2{,}5\in[2;3]$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Числа на координатной прямой

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Вычислим значение третьего числа:$$\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}7$$
2. 2
   Точка $A$ расположена примерно в координате $0{,}7$, поэтому ей соответствует число 3.

Ещё 6 шагов — в полном решении

Соответствие чисел точкам

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Оценим первое выражение:$$\sqrt{7}+2\sqrt{2}\approx2{,}65+2\cdot1{,}41\approx5{,}06$$
2. 2
   Второе выражение равно:$$\sqrt{7}:\sqrt{2}=\sqrt{\frac{7}{2}}\approx1{,}87$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$2230=223\cdot 10=223\cdot 2\cdot 5$$
2. 2
   Множитель 223 образуется из трёх отметок 2, 2 и 3, а множитель 10 — из отметок 2 и 5. Поэтому сумма всех пяти отметок равна:$$2+2+3+2+5=14$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим число на множители:$$8825 = 25 \cdot 353$$
2. 2
   Так как записано пять оценок, множители должны состоять всего из пяти цифр. Подходящее разбиение на группы — $25$ и $353$, поэтому оценки имеют вид $2, 5, 3, 5, 3$.$$25 \cdot 353 = 8825$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим число 5575 на множители:$$5575 = 25 \cdot 223 = 5 \cdot 5 \cdot 223$$
2. 2
   Множители можно получить объединением подряд идущих отметок: это наборы отметок $2,2,3,2,5$ или $5,5,2,2,3$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители, учитывая, что все отметки должны быть цифрами от 2 до 5 и всего их пять:$$3345 = 3 \cdot 5 \cdot 223$$
2. 2
   Множители соответствуют последовательности из пяти отметок: две двойки, две тройки и одна пятёрка. Например, запись может иметь вид $22 \cdot 3 \cdot 35$, а произведение равно $22 \cdot 3 \cdot 35 = 2310$, поэтому используем корректное…$$2+2+3+3+5=15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средний балл по отметкам

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Подберём пять отметок от 2 до 5, которые после расстановки знаков умножения дают 954:$$3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 53 = 954$$
2. 2
   Следовательно, последовательность отметок может быть такой: $3$, $3$, $2$, $5$, $3$.

Ещё 2 шага — в полном решении