481ФИПИ 6702BB№ 8Повышенная В 9 «Б» классе география по расписанию по вторникам и пятницам. Каждый ученик должен приносить атлас на каждый урок географии. Выберите все утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- 1
Уроки географии проходят по вторникам и пятницам, поэтому в эти дни ученики должны приносить атлас.
- 2
Утверждение 1 верно: по понедельникам урока географии нет, поэтому атлас брать не нужно.
Ещё 3 шага — в полном решении
482ФИПИ 694967№ 8Повышенная В доме Маши меньше этажей, чем в доме Стаса, в доме Ксюши больше этажей, чем в доме Стаса, а в доме Нади больше этажей, чем в Машином доме, но меньше, чем в Ксюшином доме.
- 1
Обозначим количество этажей в домах Маши, Стаса, Ксюши и Нади соответственно буквами $M$, $S$, $K$ и $N$.
- 2
Из условия получаем неравенства $M < S$, $S < K$ и $M < N < K$.
Ещё 3 шага — в полном решении
483ФИПИ 6B1C65№ 8Повышенная Андрей Сергеевич был в отпуске 9 дней и каждый день ходил куда-нибудь гулять. Два раза он ходил на смотровую площадку и три раза ходил на пляж (за день Андрей Сергеевич мог сходить и на смотровую…
- 1
Пусть $x$ — количество дней, когда Андрей Сергеевич ходил и на смотровую площадку, и на пляж. Поскольку на смотровую площадку он ходил всего 2 раза, $x \leq 2$.$$x \leq 2$$
- 2
Следовательно, 4 дня с посещением обоих мест быть не может. Утверждение 1 верно.
Ещё 3 шага — в полном решении
484ФИПИ 6B65D3№ 8Повышенная Марусе на день рождения подарили 20 шариков, 13 из которых красные, а остальные синие. Маруся на четырёх случайных шариках нарисовала рисунки маркером, чтобы подарить маме, папе, брату и сестре…
- 1
Определим количество синих шариков:$$20 - 13 = 7$$
- 2
Рисунки нанесены только на 4 шарика, поэтому красных шариков с рисунками не может быть 6. Утверждение 1 неверно.$$4 < 6$$
Ещё 3 шага — в полном решении
485ФИПИ 717D2D№ 8Повышенная В таблице даны результаты олимпиад по географии и биологии в 9 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 120 или хотя бы по одному предмету…
- 1
Выбираем учащихся, набравших меньше 65 баллов по географии: это ученики 3, 5, 6, 7 и 8.
- 2
Проверяем получение похвальной грамоты. У ученика 5 по биологии 98 баллов, у ученика 7 — 72 балла. В обоих случаях хотя бы по одному предмету набрано не меньше 65 баллов.
Ещё 1 шаг — в полном решении
486ФИПИ 72537A№ 8Повышенная В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Определите, какие утверждения верны при указанных условиях.
- 1
Пусть $x$ — число студентов, сдавших оба зачёта. Так как всего в группе 30 студентов, по принципу включения-исключения число студентов, сдавших хотя бы один зачёт, равно $20 + 20 - x = 40 - x$ и не может превышать 30.$$40 - x \leq 30 \Rightarrow x \geq 10$$
- 2
Число студентов, сдавших оба зачёта, не может быть больше числа сдавших каждый из зачётов.$$x \leq \min(20,20)=20$$
Ещё 2 шага — в полном решении
487ФИПИ 733AA9№ 8Повышенная Каждый раз, когда Надя приезжает в деревню к бабушке в гости, бабушка заплетает ей косички. Также Надя заплетает себе косички всегда, когда идёт на физкультуру. Выберите все утверждения, которые…
- 1
Если Надя находится у бабушки в гостях, то у неё заплетены косички. Поэтому утверждение, обратное этому правилу: если косичек нет, то Нади нет у бабушки в гостях — верно.$$A \Rightarrow B \;\Longrightarrow\; \neg B \Rightarrow \neg A$$
- 2
Если Надя идёт на физкультуру, она всегда заплетает себе косички. Сдача норматива по бегу на физкультуре означает, что она находится на физкультуре, значит, она с косичками.$$C \Rightarrow B$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
488ФИПИ 742C34№ 8Повышенная В компании из 20 человек 15 пользуются социальной сетью «Одноклассники», а 10 — социальной сетью «ВКонтакте». Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Пусть $A$ — множество пользователей «Одноклассников», а $B$ — множество пользователей «ВКонтакте». Объединение этих множеств содержит не более 20 человек.$$|A \cup B| \leq 20$$
- 2
По формуле включений и исключений найдём нижнюю границу числа людей, пользующихся обеими сетями:$$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| \geq 15 + 10 - 20 = 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
489ФИПИ 747C5C№ 8Повышенная Во дворе школы растёт всего три дерева: ясень, рябина и осина. Ясень выше рябины на 1 метр, но ниже осины на 2 метра. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Пусть высота рябины равна $h$ метров. Тогда высота ясеня равна $h+1$ метр.
- 2
Так как ясень ниже осины на 2 метра, высота осины равна $(h+1)+2=h+3$ метров.
Ещё 3 шага — в полном решении
490ФИПИ 7547F5№ 8Повышенная В таблице даны результаты олимпиад по физике и биологии в 10 «А» классе. Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 120 или хотя бы по одному предмету…
- 1
Баллы по физике меньше 65 имеют ученики 1, 3, 5, 7, 8 и 9.
- 2
Проверим условие получения грамоты. Ученик 1 не подходит: сумма баллов равна 103, а максимальный отдельный балл равен 63. Ученик 3 подходит, так как балл по биологии равен 70.
Ещё 2 шага — в полном решении
491ФИПИ 7724B6№ 8Повышенная В компании из 25 человек 17 пользуются социальной сетью «Одноклассники», а 11 — социальной сетью «ВКонтакте». Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими социальными сетями. Так как сетью «ВКонтакте» пользуются 11 человек, то $x \leq 11$.$$x \leq 11$$
- 2
Число людей, пользующихся хотя бы одной сетью, равно $17 + 11 - x$. Оно не может превышать 25 человек.$$17 + 11 - x \leq 25$$
Ещё 2 шага — в полном решении
492ФИПИ 775288№ 8Повышенная Среди жителей дома № 15 есть те, кто работает, и есть те, кто учится. Также есть те, кто не работает и не учится. Некоторые жители дома № 15, которые учатся, ещё и работают. Выберите все…
- 1
По условию, существуют жители, которые одновременно учатся и работают. Значит, хотя бы один работающий житель учится.
- 2
Из существования жителей, которые работают и учатся, следует, что хотя бы один житель дома работает.
Ещё 1 шаг — в полном решении
493ФИПИ 791C2D№ 8Повышенная Гитарист Андрей выступает на концертах только со своей гитарой. Также Андрей обязательно берёт с собой гитару в поход.
- 1
Из фразы «Андрей выступает на концертах только со своей гитарой» следует: если Андрей выступает на концерте, то он находится с гитарой.
- 2
Утверждение 1 неверно: наличие гитары само по себе не означает, что Андрей будет выступать на концерте.
Ещё 3 шага — в полном решении
494ФИПИ 7A32C3№ 8Повышенная Во дворе школы растут всего три дерева: сосна, клён и тополь. Сосна ниже клёна на 1 метр, но выше тополя на 2 метра. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Обозначим высоту сосны через $h$. Тогда высота клёна равна $h+1$, а высота тополя — $h-2$.$$h-2<h<h+1$$
- 2
Любое дерево, которое выше клёна, тем более выше сосны, поэтому утверждение 2 верно.
Ещё 2 шага — в полном решении
495ФИПИ 7A734D№ 8Повышенная Кондитер испёк 40 печений, из них 10 печений он посыпал корицей, а 20 печений посыпал сахаром. Кондитер может посыпать одно печенье и корицей, и сахаром, а может вообще ничем не посыпать. Выберите…
- 1
Печенья, посыпанные и сахаром, и корицей, образуют пересечение двух групп. Его размер не может быть больше числа печений с корицей:$$|A \cap B| \leq |A| = 10$$
- 2
Следовательно, утверждение 3 верно, а утверждение 1 неверно: 18 печений в пересечении быть не может.
Ещё 2 шага — в полном решении
496ФИПИ 7D269D№ 8Повышенная В 9 «Б» классе география по расписанию по вторникам и четвергам. Каждый ученик должен приносить атлас на каждый урок географии. Выберите утверждения, которые верны при приведённых условиях.
- 1
Уроки географии проходят по вторникам и четвергам, поэтому в эти дни ученики должны приносить атлас.
- 2
Утверждение 1 верно: четверг является днём урока географии.
Ещё 3 шага — в полном решении
497ФИПИ 7E6560№ 8Повышенная В посёлке городского типа всего 17 жилых домов. Высота каждого дома меньше 25 метров, но не меньше 5 метров. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
- 1
Из условия высота каждого дома удовлетворяет неравенству $5 \leq h < 25$.$$5 \leq h < 25$$
- 2
Утверждение 1 неверно: высота 25 метров запрещена условием $h < 25$.
Ещё 3 шага — в полном решении
498ФИПИ 7FC399№ 8Повышенная В жилых домах, в которых больше 5 этажей, установлен лифт.
- 1
По условию, если в доме больше 5 этажей, то в нём установлен лифт.
- 2
Если лифта нет, то дом не может иметь больше 5 этажей. Значит, этажей меньше 6, поэтому утверждение 2 верно.
Ещё 2 шага — в полном решении
499ФИПИ 8053D8№ 8Повышенная Среди жителей дома № 25 есть те, кто работает, и есть те, кто учится. А также есть те, кто не работает и не учится. Некоторые жители дома № 25, которые учатся, ещё и работают. Выберите все…
- 1
По условию некоторые жители дома одновременно учатся и работают. Значит, существует хотя бы один работающий житель, который учится.
- 2
Так как существуют жители, которые работают и учатся, работающие жители в доме точно есть.
Ещё 1 шаг — в полном решении
500ФИПИ 82C273№ 8Повышенная Если спортсмен, участвующий в Олимпийских играх, установил мировой рекорд, то его результат является и олимпийским рекордом.
- 1
Обозначим: $A$ — спортсмен установил мировой рекорд, $B$ — результат является олимпийским рекордом. Условие задачи записывается как импликация $A \Rightarrow B$.$$A \Rightarrow B$$
- 2
Контрапозиция истинной импликации также истинна: если результат не является олимпийским рекордом, то он не является мировым рекордом. Это утверждение 3.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$
Ещё 2 шага — в полном решении