Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{14-5x}=3$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$14-5x=3^2=9$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$-5x=-5,\quad x=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-6 - 4x = -8x + 7$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а постоянные — в правую.$$-6 - 4x = -8x + 7 \Longrightarrow 8x - 4x = 7 + 6$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение.$$4x = 13$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Разложим левую часть уравнения на множители:$$x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)$$
2. 2
   Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни:$$x - 3 = 0,\quad x + 7 = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{16 - 4x} = 6$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$16 - 4x = 36$$
2. 2
   Решим получившееся линейное уравнение:$$-4x = 20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 16$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:$$x = \pm\sqrt{16}$$
2. 2
   Уравнение имеет два корня: $-4$ и $4$. Больший из них равен $4$.$$x_1=-4,\quad x_2=4$$

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $3 - 3(5 - 2x) = 8x - 2$.

1. 1
   Раскроем скобки:$$3 - 3(5 - 2x) = 8x - 2 \Rightarrow 3 - 15 + 6x = 8x - 2$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$6x - 12 = 8x - 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{9x-9}=3$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$9x-9=3^2$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$9x-9=9 \Rightarrow 9x=18 \Rightarrow x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 4$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения с учётом двух знаков:$$x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$$
2. 2
   Уравнение имеет два корня: $-2$ и $2$. Выбираем меньший корень.$$x_{\min} = -2$$

Соответствие чисел и отрезков

Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

1. 1
   Оценим первое число:$$\sqrt{3}+\sqrt{5}\approx1{,}73+2{,}24=3{,}97\in[3;4]$$
2. 2
   Оценим второе число:$$\sqrt{3}:\sqrt{5}\approx1{,}73:2{,}24\approx0{,}77\in[0;1]$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Числа и отрезки

Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

1. 1
   Вычислим или оценим первое число:$$\sqrt{7}+2\sqrt{2}\approx2{,}65+2\cdot1{,}41=5{,}47$$
2. 2
   Число $5{,}47$ принадлежит отрезку $[5;6]$, поэтому А — 4.

Ещё 6 шагов — в полном решении

Сопоставление точек и чисел

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Оценим первое число:$$\sqrt{11}+\sqrt{3}\approx3{,}32+1{,}73=5{,}05$$
2. 2
   Второе число равно:$$\sqrt{11}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{33}\approx5{,}74$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Верные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию набрано 40 очков:$$5x - 9y = 40$$
2. 2
   Так как $x$ и $y$ — целые числа, из равенства $5x = 40 + 9y$ следует, что $y$ кратно 5. Ошибок было хотя бы одна, поэтому минимально возможное значение $y$ — 5.

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость пешехода

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 36 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости…

1. 1
   Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x+8$ км/ч.$$v_{\text{п}}=x,\quad v_{\text{в}}=x+8$$
2. 2
   За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 36 км.$$2x+2(x+8)=36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 610 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч…

1. 1
   Пусть первый автомобиль ехал до встречи $t$ часов. Второй автомобиль выехал на час позже, поэтому он ехал $t - 1$ часов.
2. 2
   Сумма пройденных автомобилями расстояний равна расстоянию между городами.$$50t + 90(t - 1) = 610$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число ошибок. По условию ученик набрал 56 очков:$$7x - 13y = 56$$
2. 2
   Так как хотя бы один ответ был неправильным, $y \geq 1$. Из уравнения получаем:$$7x = 56 + 13y$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сплавы с разным содержанием меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 40 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Масса первого сплава равна 60 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(60+x)$ кг.$$m_3=60+x$$
2. 2
   Масса меди в первом и втором сплавах равна массе меди в третьем сплаве.$$0{,}05\cdot60+0{,}4x=0{,}1(60+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 5 кг 27-процентного водного раствора вещества, добавили 4 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Определим массу растворённого вещества в исходном растворе:$$m_\text{вещества}=5\cdot 0{,}27=1{,}35\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса вещества остаётся равной $1{,}35$ кг, а масса раствора становится:$$m_\text{раствора}=5+4=9\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Верные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Тогда количество набранных очков выражается уравнением:$$7x - 10y = 42$$
2. 2
   Так как всего было 25 вопросов, имеем $x+y\leqslant25$, а по условию $y\geqslant1$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Встречное движение автомобилей

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 500 км. Из города $A$ в город $B$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города $B$ выехал со скоростью 80 км/ч второй…

1. 1
   В момент встречи второй автомобиль проехал расстояние от города $B$ до точки встречи:$$500 - 260 = 240\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём время движения второго автомобиля:$$t_2 = \dfrac{240}{80} = 3\ \text{ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Распределение ответов в викторине

Список заданий викторины состоял из 55 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. На…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных ответов, $z$ — число вопросов без ответа.$$x+y+z=55$$
2. 2
   По условию о набранных очках составим уравнение.$$9x-17y=153$$

Ещё 3 шага — в полном решении