Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Корни квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 5x = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Вынесем $x$ за скобки:$$x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:$$x = 0 \quad \text{или} \quad x - 5 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $4^{-9-x}=64$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $4$:$$64=4^3$$
2. 2
   Основания степеней равны, поэтому приравняем показатели:$$-9-x=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $10x - 5 = -10x - 9$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с неизвестным в левую часть, а числа — в правую:$$10x + 10x = 5 - 9$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение:$$20x = -4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уравнение с квадратным корнем

Решите уравнение $\sqrt{x + 15} = 2$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$x + 15 = 2^2$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение:$$x + 15 = 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 9 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов.$$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$
2. 2
   Приравняем каждый множитель к нулю и найдём корни.$$x-3=0 \Rightarrow x=3;\quad x+3=0 \Rightarrow x=-3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{3}(2x-5)=2$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$2x-5=3^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$2x-5=9,\quad 2x=14,\quad x=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 25$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения с учётом двух знаков:$$x = \pm\sqrt{25}$$
2. 2
   Получаем два корня уравнения:$$x_1 = 5,\quad x_2 = -5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_4(x+2)+\log_4 3=\log_4 15$.

1. 1
   Область допустимых значений: $x+2>0$, то есть $x>-2$.$$x+2>0$$
2. 2
   Объединим логарифмы в левой части:$$\log_4(x+2)+\log_4 3=\log_4\bigl(3(x+2)\bigr)$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Уравнение с корнем

Решите уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{3}$.

1. 1
   Область допустимых значений определяется условием $x > 0$, так как $\sqrt{x}$ находится в знаменателе.$$x > 0$$
2. 2
   Из равенства обратных величин получаем:$$\sqrt{x} = 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 3x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и разложим на множители:$$x^2 - 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 3) = 0$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому корни уравнения:$$x_1 = 0, \quad x_2 = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(3x - 6)^2 - 9x^2 = 0$.

1. 1
   Представим левую часть уравнения как разность квадратов.$$(3x - 6)^2 - (3x)^2 = 0$$
2. 2
   Разложим разность квадратов на множители.$$\bigl((3x-6)-3x\bigr)\bigl((3x-6)+3x\bigr)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   В предоставленном изображении формула уравнения не отображается, поэтому промежуточные преобразования восстановить невозможно.
2. 2
   Проверенный правильный ответ: корень уравнения равен $4$.$$x=4$$

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_7(4x+4)-\log_7 4=\log_7 2$.

1. 1
   Объединим разность логарифмов в один логарифм:$$\log_7\frac{4x+4}{4}=\log_7 2$$
2. 2
   Сократим выражение в левой части и приравняем аргументы логарифмов:$$\log_7(x+1)=\log_7 2 \Rightarrow x+1=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 25 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов.$$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$$
2. 2
   Приравняем каждый множитель к нулю и найдём корни.$$x-5=0 \Rightarrow x=5;\quad x+5=0 \Rightarrow x=-5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(x-3)^2=(x-1)^2$.

1. 1
   Если квадраты двух выражений равны, то выражения равны или противоположны:$$x-3=x-1 \quad \text{или} \quad x-3=-(x-1)$$
2. 2
   Первое равенство невозможно. Решаем второе:$$x-3=-x+1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{-x+2} = \dfrac{1}{8}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени числа $2$:$$\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$-x + 2 = -3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(x+2)^2=(x+4)^2$.

1. 1
   Равенство квадратов преобразуем в два случая:$$x+2=x+4 \quad \text{или} \quad x+2=-(x+4)$$
2. 2
   Первый случай невозможен, так как $2\ne4$. Во втором случае:$$x+2=-x-4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   Формула уравнения в предоставленном условии отсутствует, поэтому выполнить преобразования невозможно.
2. 2
   Согласно проверенному правильному ответу, корень уравнения равен 1.$$x = 1$$

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(x - 8)^2 = (x - 2)^2$.

1. 1
   Равенство квадратов возможно в двух случаях:$$x - 8 = x - 2 \quad \text{или} \quad x - 8 = -(x - 2)$$
2. 2
   Первый случай решений не имеет, так как после сокращения получается $-8 = -2$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{\frac{1}{2}}(9-4x)-\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}=\log_{\frac{1}{2}}15$.

1. 1
   Область допустимых значений определяется условием $9-4x>0$.$$x<\dfrac{9}{4}$$
2. 2
   Объединим логарифмы с одинаковым основанием:$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{9-4x}{\frac{1}{3}}\right)=\log_{\frac{1}{2}}15$$

Ещё 2 шага — в полном решении