Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Представим правую часть в виде степени с тем же основанием: $3=3^1$.$$3^x \ge 3^1 \Longrightarrow x\ge1$$
- 2
Для неравенства Б преобразуем основание: $\left(\frac{1}{3}\right)^x=3^{-x}$. Показательная функция с основанием $3>1$ возрастает.$$3^{-x}\ge3^1 \Longrightarrow -x\ge1 \Longrightarrow x\le-1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Область допустимых значений: $x>1$. Так как основание логарифма больше единицы, получаем $x-1<2$, то есть $1<x<3$.$$\log_2(x-1)<1\Longleftrightarrow 0<x-1<2\Longleftrightarrow 1<x<3$$
- 2
Решим неравенство Б. Представим $\dfrac{1}{9}$ как степень числа $3$ и сравним показатели.$$3^{-2x}>3^{-2}\Longleftrightarrow -2x>-2\Longleftrightarrow x<1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Вычислим приближённое значение первого выражения.$$\sqrt{5}+\sqrt{2}\approx2{,}24+1{,}41=3{,}65$$
- 2
Вычислим приближённое значение второго выражения.$$3\sqrt{5}:\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\approx\frac{3\cdot2{,}24}{1{,}41}\approx4{,}74$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $2>1$, знак неравенства при переходе к показательной форме сохраняется.$$\log_2 x < a \Leftrightarrow 0 < x < 2^a,\quad \log_2 x > a \Leftrightarrow x > 2^a$$
- 2
Для неравенства А получаем:$$\log_2 x < -2 \Leftrightarrow 0 < x < 2^{-2}=\frac{1}{4}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $\log_2 5$. Каждой из четырёх точек соответствует число, которое является её координатой. Установите соответствие между…
- 1
Находим приближённое значение логарифма:$$m=\log_2 5\approx2{,}32$$
- 2
Вычисляем значение первого выражения:$$m-2\approx2{,}32-2=0{,}32$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $3$ и $4$.
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $3$ и $4$ не входят в решение.
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого…
- 1
По координатной прямой видно, что $m$ находится между $-1$ и $0$, причём его значение близко к $-0{,}75$.
- 2
Тогда $6-m$ находится примерно между $6$ и $7$, поэтому $\sqrt{6-m}$ принадлежит отрезку $[2;3]$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
Оценим логарифм: $2^5=32<35<64=2^6$, поэтому $5<\log_2 35<6$.$$А \to 4$$
- 2
Вычислим дробь: $\dfrac{7}{4}=1{,}75$, следовательно, число принадлежит отрезку $[1;2]$.$$Б \to 1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $2>1$, функция $\log_2 x$ возрастает. Для неравенства А:$$\log_2 x>1\Longleftrightarrow x>2^1=2$$
- 2
Для неравенства Б:$$\log_2 x<-1\Longleftrightarrow 0<x<2^{-1}=\dfrac{1}{2}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
В неравенстве А критические точки — $x=2$ и $x=5$. Дробь отрицательна при $x<5$, но точка $x=2$ исключается, так как числитель обращается в ноль.$$\dfrac{(x-2)^2}{x-5}<0\quad\Longrightarrow\quad x<5,\ x\ne2$$
- 2
Преобразуем правую часть неравенства Б: $\dfrac14=2^{-2}$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $-x<-2$, то есть $x>2$.$$2^{-x}<2^{-2}\quad\Longrightarrow\quad -x<-2\quad\Longrightarrow\quad x>2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На числовой прямой отмечены числа $m$ и $n$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого…
- 1
По числовой прямой определяем приблизительные значения отмеченных точек: $m\approx -1{,}3$, $n\approx 2{,}4$.
- 2
Вычислим произведение: оно примерно равно $-3{,}1$, поэтому принадлежит отрезку $[-4;-3]$.$$mn\approx (-1{,}3)\cdot 2{,}4\approx -3{,}1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
За 8 прыжков кузнечик может сместиться от начала координат максимум на 8 единиц, поэтому возможные координаты лежат от $-8$ до $8$.
- 2
Так как число прыжков чётное, координата после каждого маршрута будет чётной. Все чётные координаты от $-8$ до $8$ достижимы.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Вычислим или оценим значения чисел.$$\left(\dfrac{37}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{37}\approx0{,}08$$
- 2
Число $\dfrac{3}{37}$ соответствует точке $A$, расположенной немного правее нуля.
Ещё 3 шага — в полном решении
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $2>1$, функция $\log_2 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.$$\log_2 a > \log_2 b \Longleftrightarrow a>b$$
- 2
Для неравенства А получаем $x>4$, то есть решение 1.$$\log_2 x>\log_2 4\Longleftrightarrow x>4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $x=2$ и $x=3$. Точка $x=2$ исключается из области определения, а $x=3$ обращает числитель в ноль. Знак положителен при $x>2$, кроме $x=3$.$$\dfrac{(x-3)^2}{x-2}>0\Longrightarrow x\in(2;3)\cup(3;+\infty)$$
- 2
В неравенстве Б произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $2$ и $3$.$$(x-2)(x-3)<0\Longrightarrow x\in(2;3)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На числовой прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
- 1
По рисунку число $m$ расположено между $1$ и $2$, причём $1<m<2$.$$1<m<2$$
- 2
Вычитаем единицу и учитываем возрастание квадратного корня:$$0<\sqrt{m}-1<1$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Так как $2^3=8<10<16=2^4$, получаем $3<\log_2 10<4$. Числу А соответствует отрезок 3.$$\log_2 10\in[3;4]$$
- 2
Делим $7$ на $3$: $\dfrac{7}{3}=2\dfrac{1}{3}$, поэтому число Б принадлежит отрезку $[2;3]$.$$\dfrac{7}{3}\in[2;3]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $-\sqrt{2{,}2}$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными…
- 1
Подставим $m=-\sqrt{2{,}2}$ в первое выражение:$$3-m=3+\sqrt{2{,}2}\approx4{,}5$$
- 2
Вычислим второе выражение:$$-\frac{2}{m}=\frac{2}{\sqrt{2{,}2}}\approx1{,}35$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $x=2$ и $x=3$. Дробь положительна вне этих точек.$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}>0\Longrightarrow x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$
- 2
В неравенстве Б основание $3>1$, поэтому сравниваем показатели.$$3^{-x+3}>3^1\Longrightarrow -x+3>1\Longrightarrow x<2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Неравенство А: функция $2^x$ возрастает, поэтому из $2^x \ge 2^1$ следует $x \ge 1$. Это решение 3.$$x \in [1; +\infty)$$
- 2
Неравенство Б: основание $0{,}5$ меньше единицы, поэтому функция убывает. Так как $2 = 0{,}5^{-1}$, получаем $x \le -1$. Это решение 1.$$x \in (-\infty; -1]$$
Ещё 2 шага — в полном решении