Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Так как основание логарифма $4>1$, функция возрастает: $\log_4 x>0$ тогда и только тогда, когда $x>4^0$.$$x>1$$
- 2
Решим неравенство Б. Представим $16$ как степень числа $4$ и сравним показатели.$$4^{-x+7}>4^2 \Longrightarrow -x+7>2 \Longrightarrow x<5$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По рисунку число $m$ расположено между $0$ и $1$, причём $m=\dfrac{1}{4}$.
- 2
Вычислим значение первого выражения:$$m-1=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для каждого неравенства определяем критические точки и исследуем знак выражения на промежутках.
- 2
Неравенство А имеет Шешім на промежутке между корнями $1$ и $3$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
На числовой прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По рисунку число $m$ находится между $2$ и $3$, то есть $2<m<3$.
- 2
Вычитаем 2: $0<m-2<1$. Значит, выражение $m-2$ соответствует точке $A$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Оценим первое выражение:$$\sqrt{7}+\sqrt{3}\approx2{,}65+1{,}73=4{,}38$$
- 2
Оценим второе выражение:$$\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}=2\sqrt{21}\approx9{,}17$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Вычислим значение выражения в пункте А:$$2m-5=2\sqrt{2}-5\approx2\cdot1{,}414-5\approx-2{,}17\in[-3;-2]$$
- 2
Вычислим значение выражения в пункте Б:$$m^3=(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\approx2{,}83\in[2;3]$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Так как $m = \sqrt{2}$ и $1 < \sqrt{2} < 2$, получаем:$$m - 2 = \sqrt{2} - 2 \in [-1;0]$$
- 2
Прибавляем единицу к числу $m$:$$m + 1 = \sqrt{2} + 1 \in [2;3]$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Число $m$ равно $\sqrt{6}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Для пункта А подставим $m=\sqrt{6}$ и оценим значение.$$-\sqrt{m}=-\sqrt[4]{6}\approx-1{,}57\in[-2;-1]$$
- 2
В пункте Б квадрат числа $m$ равен алты.$$m^2-3{,}5=(\sqrt{6})^2-3{,}5=6-3{,}5=2{,}5\in[2;3]$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $3>1$, функция $\log_3 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.$$\log_3 x > a \Longleftrightarrow x>3^a,\qquad \log_3 x<a \Longleftrightarrow 0<x<3^a$$
- 2
Для неравенства А:$$\log_3 x>1 \Longleftrightarrow x>3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни: $x^2+8x+15=(x+5)(x+3)$. Так как старший коэффициент положителен и требуется значение не меньше нуля, решение состоит из внешних промежутков.$$x\in(-\infty;-5]\cup[-3;+\infty)$$
- 2
Для неравенства Б: $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$. При знаке «$\ge 0$» берём внешние промежутки.$$x\in(-\infty;3]\cup[5;+\infty)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 6 прыжков возможны только чётные координаты от $-6$ до $6$.$$x\in\{-6,-4,-2,0,2,4,6\}$$
- 2
Все перечисленные точки достижимы: число прыжков вправо и влево можно подобрать для каждой координаты.$$6-(-6)\,/\,2=6+1=7$$
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А нули выражения находятся в точках $x=2$ и $x=4$. Корень $x=2$ имеет чётную кратность, поэтому знак при переходе через него не меняется. Выражение отрицательно при $x<4$, но точки $2$ и $4$ не входят в решение.$$x\in(-\infty;2)\cup(2;4)$$
- 2
В неравенстве Б числитель $(x-4)^2$ положителен, кроме точки $x=4$, а знаменатель положителен при $x>2$. Поэтому выражение положительно при $x>2$, за исключением $x=4$.$$x\in(2;4)\cup(4;+\infty)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Область определения: $x>3$. Так как основание логарифма $3>1$, имеем $x-3<3$, откуда $3<x<6$.$$\log_3(x-3)<1\Longleftrightarrow 0<x-3<3\Longleftrightarrow 3<x<6$$
- 2
Решим неравенство Б. Представим правую часть как степень пятёрки. При основании $5>1$ сравниваем показатели: $-x+2>-1$, откуда $x<3$.$$5^{-x+2}>\frac{1}{5}=5^{-1}\Longleftrightarrow -x+2>-1\Longleftrightarrow x<3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
Вычислим первое число приближённо:$$\sqrt{6}+\sqrt{5}\approx2{,}45+2{,}24=4{,}69\in[4;5]$$
- 2
Вычислим второе число:$$\sqrt{6}:\sqrt{5}\approx2{,}45:2{,}24\approx1{,}10\in[1;2]$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Вычислим первое число. Так как $4^{-1/2}=0{,}5$, получаем:$$\log_{4}0{,}5=-\frac{1}{2}=-0{,}5$$
- 2
Вычислим второе число:$$\frac{50}{11}\approx4{,}55$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Разложим выражение в неравенстве А на множители. Корни равны $2$ и $4$. Так как ветви параболы направлены вверх, выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),\quad x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$$
- 2
Для неравенства Б корни равны $-1$ и $8$. Требуется, чтобы выражение было неположительным, поэтому берём промежуток между корнями.$$x^2 - 7x - 8 = (x + 1)(x - 8),\quad x \in [-1; 8]$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел, приведённых в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и…
- 1
По координатной прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=-2{,}5$$
- 2
Вычисляем значение первого выражения:$$\dfrac{m}{10}=\dfrac{-2{,}5}{10}=-0{,}25$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни трёхчлена:$$x^2 + 7x - 30 = (x + 10)(x - 3)$$
- 2
Так как старший коэффициент положительный, выражение не больше нуля между корнями:$$x \in [-10; 3]$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
По координатной прямой видно, что $m$ примерно равно $1{,}8$.
- 2
Вычислим первое выражение: $\sqrt{m}\approx\sqrt{1{,}8}\approx1{,}34$, поэтому оно принадлежит отрезку $[1;2]$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $3$ и $4$. Произведение отрицательно между корнями.
- 2
Для неравенства Б числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Точки $x=3$ и $x=4$ не входят в решение.$$\dfrac{x-3}{x-4}>0 \Longrightarrow x<3 \text{ или } x>4$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде