На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 64^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ADB$, опирающийся на диаметр, прямой.$$\angle ADB = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ADB$ и найдём угол $DAB$.$$\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 8$, медиана $BM = \sqrt{55}$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$
- 2
Найдём длину отрезка $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{8^2 - (\sqrt{55})^2} = \sqrt{9} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
- 1
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$
- 2
Приравняем площади треугольника, выраженные через катеты и через гипотенузу и высоту:$$\frac{6\cdot8}{2}=\frac{10h}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120°$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 30. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, $AM=MC$. Поскольку $BM$ — биссектриса, углы $ABM$ и $MBC$ равны. Следовательно, треугольники $ABM$ и $CBM$ равны, поэтому $AB=BC$.
- 2
Угол $B$ равен $120°$, значит угол $ABM=60°$. В равнобедренном треугольнике $ABM$ углы при $A$ и $M$ равны $60°$, поэтому треугольник $ABM$ равносторонний.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 33$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $BC$ лежит напротив угла $A$.$$BC = \frac{AB}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $54$, $\tg \angle CAD = \dfrac{7}{18}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{7}{18}$$
- 2
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 54$. Найдём сторону $CD$.$$CD = 54 \cdot \dfrac{7}{18} = 21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 148^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, смежные углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$$
- 2
Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому делит его на два равных угла.$$\angle DMB = \frac{32^\circ}{2} = 16^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC=\sqrt{7}$, $AC=3\sqrt{7}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол треугольника при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle C=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
- 2
По теореме косинусов найдём квадрат стороны $AB$.$$AB^2=(3\sqrt{7})^2+(\sqrt{7})^2-2\cdot3\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot\cos60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $2$, а $\tg A = 0{,}2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём половину основания:$$AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{2}{0{,}2} = 10$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $700$, сторона $BC = 50$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $BC = AD = 50$, найдём вторую сторону:$$CD = AB = \dfrac{700}{50} = 14$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{14}{50} = 0{,}28$$
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 58 см, а высота экрана — 40 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
- 1
Диагональ прямоугольника и его высота образуют прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора ширина $w$ удовлетворяет равенству:$$w^2 + 40^2 = 58^2$$
- 2
Находим квадрат ширины:$$w^2 = 58^2 - 40^2 = 3364 - 1600 = 1764$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 33 и 75, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $75-33=42$. В равнобедренной трапеции она делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна:$$x=\dfrac{75-33}{2}=21$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора:$$h=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5625-441}=72$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $48$, $\tg \angle CAD = \frac{5}{16}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{5}{16}$$
- 2
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 48$. Найдём сторону $CD$.$$CD = 48 \cdot \frac{5}{16} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 77$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$:$$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{77}{2} = 38{,}5$$
- 2
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $BHM$ и $BHC$:$$BM^2 = BH^2 + MH^2, \quad BC^2 = BH^2 + HC^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $48^\circ$, угол $ABC$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ALC$ и $ALB$ являются смежными, поскольку точки $B$, $L$, $C$ лежат на одной прямой.$$\angle ALB=180^\circ-48^\circ=132^\circ$$
- 2
В треугольнике $ABL$ известны углы при вершинах $B$ и $L$, поэтому найдём угол $BAL$.$$\angle BAL=180^\circ-41^\circ-132^\circ=7^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $128$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, значит, это соседние углы: $60^\circ$ и $120^\circ$.$$\alpha + (180^\circ-\alpha)=180^\circ,\quad 2\alpha=120^\circ$$
- 2
Найдём сторону ромба по его периметру.$$a=\frac{128}{4}=32$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 20$. Найдите длину катета $BC$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенузой.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 4 и 8. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 4 \cdot 6 = 24$$
- 2
Выразим высоту, опущенную на большую сторону.$$h = \dfrac{S}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 5$, $\sin A = 0{,}2$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{5}{0{,}2} = 25$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 61$, $AC = 120$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $\dfrac{120}{2}=60$. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB=61$ и катетами $\dfrac{AC}{2}=60$ и $\dfrac{BD}{2}$.$$61^2=60^2+\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении