На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $\angle AOB = 8^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 80. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшая дуга соответствует центральному углу $8^\circ$, поэтому её длина составляет долю $\dfrac{8}{360}$ от длины всей окружности.$$\frac{80}{L} = \frac{8}{360}$$
- 2
Найдём длину всей окружности.$$L = 80 \cdot \frac{360}{8} = 3600$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 82$, $AC = 36$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AM = MC = \frac{AC}{2} = 18$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{6724 - 324} = \sqrt{6400} = 80$$
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $124^\circ$. Найдите угол $ACB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ — смежные.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
- 2
Вычислим центральный угол $AOB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 40, площадь треугольника равна 300. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Найдём высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию:$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 300}{40} = 15$$
- 2
Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, поэтому половина основания равна 20. По теореме Пифагора:$$AB = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $10$, а $\tg A = 1{,}25$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A=\frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания.$$AM=\frac{BM}{\tg A}=\frac{10}{1{,}25}=8$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Основания трапеции равны 2 и 8, боковая сторона, равная 4, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Найдём высоту трапеции по боковой стороне и углу между боковой стороной и основанием.$$h = 4\sin 150^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$
- 2
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \frac{2+8}{2}\cdot 2 = 10$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 26$. Найдите длину катета $BC$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными, поэтому внутренний угол равен:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенуза:$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $145^\circ$, угол $ABC$ равен $113^\circ$. Найдите угол $ACB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Обозначим $\angle CAL=\angle BAL=\alpha$, так как $AL$ — биссектриса угла $A$. Пусть $\angle ACB=x$.
- 2
В треугольнике $ALC$ угол $ACL$ совпадает с углом $ACB$, поэтому$$\alpha+x+145^\circ=180^\circ,\quad \alpha+x=35^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 13$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развёрнутый угол:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет $BC$ противолежит углу $A$, а $AB$ является гипотенузой:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $30$. Найдите периметр ромба.
- 1
Противоположные углы ромба равны, поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, имеют величину $120^\circ$ каждый. Другие два угла равны $60^\circ$.$$240^\circ : 2 = 120^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она делит ромб на два равносторонних треугольника, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали.$$a = 30$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
- 1
По основному тригонометрическому тождеству:$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
- 2
Подставим значение косинуса:$$\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $23$. Найдите периметр ромба.
- 1
Сумма двух равных противоположных углов ромба равна $120^\circ$, значит каждый из них равен $60^\circ$.$$2\alpha = 120^\circ,\quad \alpha = 60^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба при угле $60^\circ$ равна его стороне. Следовательно, сторона ромба равна $23$.$$a = 23$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $160^\circ$, угол $ABC$ равен $148^\circ$. Найдите угол $ACB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $A$ треугольника $ABC$ равен $180^\circ-148^\circ-x=32^\circ-x$.$$∠A=32^\circ-x$$
- 2
Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $CAL$ равен половине угла $A$.$$∠CAL=\dfrac{32^\circ-x}{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 85$, $AC = 168$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{168}{2} = 84$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{85^2 - 84^2} = \sqrt{(85-84)(85+84)} = 13$$
В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 3, а другое — 7. Высота трапеции равна 4. Найдите тангенс острого угла трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками.$$\frac{7-3}{2}=2$$
- 2
В образовавшемся прямоугольном треугольнике высота равна $4$, а прилежащий к острому углу катет равен $2$.$$\tan \alpha=\frac{4}{2}=2$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 12$, медиана $BM = 6\sqrt{3}$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM \perp BM$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину основания:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 - 108} = 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 10$, медиана $BM = 2\sqrt{21}$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM \perp BM$$
- 2
По теореме Пифагора найдём катет $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - (2\sqrt{21})^2} = \sqrt{100 - 84} = 4$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 51, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $51 - 9 = 42$. В равнобедренной трапеции при опускании высот эта разность делится пополам, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $21$.$$x = \dfrac{51 - 9}{2} = 21$$
- 2
Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой $75$ и катетом $21$.$$h = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5625 - 441} = 72$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 100, боковая сторона равна 60. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $100-28=72$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по краям, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $72:2=36$.$$x=\frac{100-28}{2}=36$$
- 2
Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 60 и катетом 36.$$h=\sqrt{60^2-36^2}=\sqrt{2304}=48$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120°$. Катет $AC = 20$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180° - 120° = 60°$$
- 2
В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде