В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $9$, а $\tg A = \dfrac{9}{40}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
- 2
По определению тангенса угла $A$ найдём длину половины основания.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM},\quad AM = \dfrac{9}{9/40} = 40$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 77^\circ$, угол $2 = 88^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Наклонные прямые вместе с отрезком прямой $n$ образуют треугольник. Поскольку $m \parallel n$, угол треугольника у левой вершины равен углу $1$ как внутренние накрест лежащие углы.$$角_\text{лев} = 77^\circ$$
- 2
Угол при правой вершине треугольника равен углу $2$.$$角_\text{прав} = 88^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $88^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$$
- 2
Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Его величина равна половине центрального угла $AOB$.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{92^\circ}{2} = 46^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $64$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании треугольника смежен с внешним углом, поэтому он равен$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BM}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{91}}{10}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$.
- 1
По основному тригонометрическому тождеству найдём квадрат косинуса:$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{\sqrt{91}}{10}\right)^2 = 1 - \dfrac{91}{100} = \dfrac{9}{100}$$
- 2
Угол $\alpha$ находится в четвёртой четверти, поэтому косинус положителен:$$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{9}{100}} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$. Площадь треугольника равна $18$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Найдём катет $AC$ по формуле площади:$$18 = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot 4$$
- 2
Вычисляем длину катета $AC$:$$AC = \dfrac{2 \cdot 18}{4} = 9$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике одна из сторон равна 30, а диагональ равна 34. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b^2 = 34^2 - 30^2 = 1156 - 900 = 256$$
- 2
Вторая сторона прямоугольника равна 16.$$b = \sqrt{256} = 16$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $41^\circ$, угол $ABC$ равен $26^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим $\angle BAL=\angle LAC=x$, так как $AL$ — биссектриса. Обозначим $\angle ACB=y$.
- 2
Рассмотрим треугольник $ALC$. Его углы равны $x$, $y$ и $41^\circ$:$$x+y+41^\circ=180^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{9}$, $BC = 36$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащей, а $BC$ — прилежащей.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 36 \cdot \dfrac{5}{9} = 20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 28$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса $BK$ делит угол $ABC$ пополам:$$\angle ABK = \angle KBC = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB = 28$ — его гипотенуза.$$BK = AB\cos 60^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 14$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 7$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора найдём медиану $BM$.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $16$, а $\tg A = \dfrac{8}{15}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $AM$ — половина основания.$$BM \perp AC$$
- 2
Используем определение тангенса острого угла $A$:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{8}{15}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 30$, $\sin A = \dfrac{4}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB$ — боковая сторона, то $AB = BC = 30$. Угол при основании равен $A$, поэтому основание выражается формулой $AC = 2 \cdot AB \cdot \cos A$.
- 2
Из условия $\sin A = \dfrac{4}{5}$ и из того, что угол $A$ острый, получаем $\cos A = \dfrac{3}{5}$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Стороны параллелограмма равны 20 и 130. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 78. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 20 \cdot 78 = 1560$$
- 2
Выразим высоту, опущенную на большую сторону, из формулы площади.$$h = \dfrac{S}{130} = \dfrac{1560}{130} = 12$$
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 63^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим длину стороны $AB$ за $a$. Тогда $AC = 2a$. Угол между направлениями $AC$ и $AB$ равен $\angle ACD = 63^\circ$, поскольку $AB \parallel CD$.$$AB = a,\quad AC = 2a$$
- 2
Вектор диагонали $BD$ выражается через векторы $AC$ и $AB$:$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 12$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \frac{AC}{2} = 6$$
- 2
Обозначим $AH = x$. Тогда $HM = x - 6$, а $HC = 12 - x$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $172^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$$
- 2
Так как $AC=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A=\angle B=8^\circ$.$$\angle A = 8^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 и 20. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
- 1
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:$$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$$
- 2
Выразим площадь треугольника через катеты и через гипотенузу с высотой $h$:$$\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25h}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 40$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Так как угол $C$ прямой, найдём угол $A$.$$A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике катеты равны 14 и 48. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
- 1
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{2500} = 50$$
- 2
Выразим площадь треугольника двумя способами и приравняем выражения:$$\frac{14 \cdot 48}{2} = \frac{50h}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде