В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна 10, а $\tg A = \dfrac{5}{12}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
- 2
По определению тангенса угла $A$ найдём половину основания:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{5}{12},\quad \dfrac{10}{AM} = \dfrac{5}{12},\quad AM = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Обе диагонали параллелограмма равны 17. Одна из сторон параллелограмма равна 15. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
В параллелограмме равенство диагоналей означает, что он является прямоугольником.$$d = 17$$
- 2
Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону:$$b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$$
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $9$, $\tg \angle CAD = 0{,}12$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет, противолежащий углу $CAD$, равен $AB$, а прилежащий катет равен $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AB}{AD}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$0{,}12 = \dfrac{9}{AD},\quad AD = \dfrac{9}{0{,}12} = 75$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 50, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Разность оснований делится пополам, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна:$$x=\frac{50-14}{2}=18$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции:$$h=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=24$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 18$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренний угол треугольника и внешний угол при одной вершине являются смежными.$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Так как углы при вершинах $A$ и $C$ равны, противолежащие им стороны равны. Следовательно, $AB = BC = 18$, а треугольник равнобедренный.$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $85^\circ$, угол $CAD$ равен $19^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABD$ — вписанный, поэтому дуга $AD$, на которую он опирается, равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot85^\circ=170^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot19^\circ=38^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $19$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны, а сумма двух углов, лежащих рядом, равна $180^\circ$. Поэтому углы, сумма которых равна $120^\circ$, являются противоположными и каждый из них равен $60^\circ$.$$60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба, образующая с его сторонами углы по $30^\circ$, равна стороне ромба: в соответствующем равностороннем треугольнике она является высотой, а при угле ромба $60^\circ$ её длина совпадает со стороной.$$a = 19$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности радиусом 25 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 15$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Найдём длину диаметра окружности:$$AB = 2R = 2 \cdot 25 = 50$$
- 2
Угол $ACB$ прямой, так как он опирается на диаметр $AB$. В прямоугольном треугольнике косинус угла $BAC$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$:$$\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{50} = 0{,}3$$
В трапеции $ABCD$ известно, что основания $AD = 3$ и $BC = 1$, а её площадь равна 12. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Найдём высоту трапеции по формуле её площади.$$12 = \dfrac{(3 + 1)h}{2}$$
- 2
Вычислим высоту трапеции:$$h = \dfrac{24}{4} = 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 60$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 16. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому$$AK=KC=\frac{AC}{2}=30$$
- 2
Введём координаты: $K=(0,0)$, $B=(0,16)$, $C=(30,0)$. Так как $P$ — середина $BC$, её координаты равны$$P\left(\frac{0+30}{2},\frac{16+0}{2}\right)=(15,8)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 79$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{79}{2} = 39{,}5$$
- 2
Рассмотрим прямоугольные треугольники $BHM$ и $BHC$. У них общий катет $BH$, а гипотенузы равны, поскольку $BM = BC$.$$BM^2 = BH^2 + HM^2,\quad BC^2 = BH^2 + HC^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 55$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 173^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как противоположные стороны параллелограмма равны, имеем $CD = AB$. По условию $AC = 2AB$, поэтому $AC = 2CD$.
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём известны стороны $AC$ и $CD$, а также угол $\angle ACD = 173^\circ$. По теореме косинусов находим третью сторону $AD$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $88$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
Найдём длину стороны ромба по периметру:$$a = \dfrac{88}{4} = 22$$
- 2
Сумма двух равных противоположных углов равна $120^\circ$, значит каждый из них равен $60^\circ$. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. В треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и этой диагональю, две стороны равны…
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 25. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=7$$
- 2
Наименьшая средняя линия соединяет середины двух сторон и параллельна наименьшей стороне треугольника. Она равна половине этой стороны.$$m=\dfrac{7}{2}=3.5$$
В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 3$, $BD = 3\sqrt{3}$. Найдите синус угла $ABD$.
- 1
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Тогда $AO \perp BD$ и $BO = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.$$BO = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ гипотенуза $AB = 3$. По теореме Пифагора:$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{9 - \dfrac{27}{4}} = \dfrac{3}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 6$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Поскольку $AB = BC$, высота $BH$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AH = \dfrac{AC}{2} = 3$$
- 2
Из определения тангенса угла $A$ найдём высоту:$$BH = AH \cdot \tg \angle BAC = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{3} = \sqrt{7}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 32. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Медиана $BM$ делит угол $B=120^\circ$ пополам, поэтому $\angle ABM=60^\circ$.
- 2
Поскольку медиана в треугольнике одновременно является биссектрисой, треугольник $ABC$ равнобедренный. Следовательно, медиана $BM$ перпендикулярна основанию $AC$, и треугольник $ABM$ прямоугольный.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = \sqrt{21}$, $AC = 5\sqrt{21}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол треугольника при вершине $C$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
По теореме косинусов выразим квадрат стороны $AB$.$$AB^2 = (5\sqrt{21})^2 + (\sqrt{21})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{21} \cdot \sqrt{21} \cdot \cos 60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $200$, сторона $BC = 25$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Найдём длину стороны $AD$:$$AD = \dfrac{200}{25} = 8$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде