Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{5^{-3} \cdot 5^{14}}{5^9}$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$5^{-3} \cdot 5^{14} : 5^9 = 5^{-3+14-9}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени.$$-3+14-9=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{2}$, затем вычислим:$$(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2=7-2=5$$

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{4^4}{64}$.

1. 1
   Вычислим степень:$$4^4 = 256$$
2. 2
   Разделим полученное число на $64$:$$\dfrac{4^4}{64} = \dfrac{256}{64} = 4$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{48}-\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Разложим число $48$ на множители и упростим квадратный корень:$$\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное значение в исходное выражение и приведём подобные слагаемые:$$(4\sqrt{3}-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить выражение со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^3)^8 \cdot a^7}{a^{29}}$ при $a = 7$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(a^3)^8 = a^{24}$$
2. 2
   Объединим степени в числителе и разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{24} \cdot a^7}{a^{29}} = a^{24+7-29} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление значения выражения

Найдите значение выражения $\sqrt{13 \cdot 18} \cdot \sqrt{26}$.

1. 1
   Объединим произведение корней в один корень:$$\sqrt{13 \cdot 18} \cdot \sqrt{26} = \sqrt{13 \cdot 18 \cdot 26}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$13 \cdot 18 \cdot 26 = 6084$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}$ при $a = 3$ и $b = 4$.

1. 1
   Представим подкоренное выражение как квадрат разности:$$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2$$
2. 2
   Подставим значения $a = 3$ и $b = 4$ и учтём, что квадратный корень из квадрата равен модулю:$$\sqrt{(a - 2b)^2} = |a - 2b| = |3 - 2 \cdot 4| = |-5| = 5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot x^4y^8}$ при $x=5$ и $y=2$.

1. 1
   Подставим $x=5$ и $y=2$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{25}\cdot 5^4\cdot 2^8}$$
2. 2
   Вычислим степени и значение выражения под корнем.$$\dfrac{1}{25}\cdot 625\cdot 256=6400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{96}{(4\sqrt{2})^2}$.

1. 1
   Преобразуем знаменатель, применив свойство квадрата произведения:$$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$\dfrac{96}{32} = 3$$

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{220}{(2\sqrt{5})^2}$.

1. 1
   Возведём знаменатель в квадрат:$$(2\sqrt{5})^2=2^2\cdot(\sqrt{5})^2=4\cdot5=20$$
2. 2
   Разделим числитель на полученный знаменатель:$$\dfrac{220}{20}=11$$

Вычисление значения степени

Найдите значение выражения $\dfrac{10^6}{2^5 \cdot 5^4}$.

1. 1
   Представим $10$ как произведение $2 \cdot 5$ и раскроем степень произведения.$$10^6 = (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{2^6 \cdot 5^6}{2^5 \cdot 5^4} = 2^{6-5} \cdot 5^{6-4} = 2 \cdot 5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{30^6}{3^4 \cdot 10^5}$.

1. 1
   Представим число $30$ в виде произведения $3 \cdot 10$ и возведём произведение в шестую степень.$$30^6 = (3 \cdot 10)^6 = 3^6 \cdot 10^6$$
2. 2
   Подставим полученное представление в выражение и сократим степени с одинаковыми основаниями.$$\dfrac{30^6}{3^4 \cdot 10^5} = \dfrac{3^6 \cdot 10^6}{3^4 \cdot 10^5} = 3^{6-4} \cdot 10^{6-5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^3)^5 \cdot a^6}{a^{19}}$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень и перемножим степени с одинаковым основанием.$$(a^3)^5 \cdot a^6 = a^{15} \cdot a^6 = a^{21}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{a^{21}}{a^{19}} = a^{21-19} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\sqrt{7 \cdot 18} \cdot \sqrt{14}$.

1. 1
   Объединим произведение корней в один квадратный корень.$$\sqrt{7 \cdot 18} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 18 \cdot 14}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{7 \cdot 18 \cdot 14} = \sqrt{1764} = 42$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{20}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}$.

1. 1
   Преобразуем первый корень:$$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставляем полученное выражение и упрощаем:$$(\sqrt{20}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}=(2\sqrt{5}-\sqrt{5})\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^7)^3 \cdot a^{10}}{a^{28}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Применим свойства степеней и упростим выражение:$$\dfrac{(a^7)^3 \cdot a^{10}}{a^{28}} = a^{7 \cdot 3 + 10 - 28} = a^3$$
2. 2
   Подставим значение $a = 2$:$$a^3 = 2^3 = 8$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $(\sqrt{11}+3)^2-6\sqrt{11}$.

1. 1
   Раскроем квадрат суммы:$$(\sqrt{11}+3)^2=11+6\sqrt{11}+9$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и приведём подобные слагаемые:$$11+6\sqrt{11}+9-6\sqrt{11}=20$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{9x^4}{y^6}}$ при $x = 9$ и $y = 3$.

1. 1
   Подставим $x = 9$ и $y = 3$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{9 \cdot 9^4}{3^6}}$$
2. 2
   Представим числа как степени числа $3$ и упростим дробь.$$\sqrt{\dfrac{3^2 \cdot (3^2)^4}{3^6}} = \sqrt{\dfrac{3^{10}}{3^6}} = \sqrt{3^4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{(3\sqrt{5})^2}{75}$.

1. 1
   Раскроем квадрат произведения:$$(3\sqrt{5})^2=3^2\cdot(\sqrt{5})^2=9\cdot5=45$$
2. 2
   Разделим полученное значение на $75$ и сократим дробь:$$\dfrac{45}{75}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$$

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{3^7}{81}$.

1. 1
   Представим знаменатель в виде степени с основанием $3$:$$81=3^4$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями:$$\dfrac{3^7}{81}=\dfrac{3^7}{3^4}=3^{7-4}=3^3=27$$