Задание 19 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Через одну точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, поэтому первое утверждение ложно.

У прямоугольника противоположные углы равны $90^\circ$, а значит, их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, любой прямоугольник можно вписать в окружность.$$\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

Ромб является параллелограммом. Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому первое утверждение истинно.

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому второе утверждение неверно.$$\angle вписанный = \dfrac{1}{2}\angle центральный$$

Ромб является параллелограммом. Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому первое утверждение истинно.

В тупоугольном треугольнике только один угол является тупым, поэтому второе утверждение ложно.

В равностороннем треугольнике все высоты равны, поскольку треугольник симметричен относительно всех своих медиан.

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине соответствующего центрального угла. Поэтому утверждение 2 неверно.$$\alpha = \dfrac{\beta}{2}$$

Утверждение 1 истинно: через одну точку могут проходить три и более прямых.

Утверждение 2 ложно: боковые стороны равны не у любой трапеции, а только у отдельных видов, например у равнобедренной трапеции.

По свойству средней линии трапеции её длина равна полусумме оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Диагонали прямоугольника делят его на четыре треугольника, но эти треугольники не обязательно равны. Они будут равными, например, у квадрата.

Боковые стороны произвольной трапеции не обязаны быть равными. Равенство боковых сторон является свойством равнобедренной трапеции.

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника проходит через точки, равноудалённые от концов этой стороны. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре окружности, описанной около треугольника.

Первое утверждение неверно: равные диагонали параллелограмма означают, что он является прямоугольником. Прямоугольник не обязательно является ромбом.

Второе утверждение верно: расстояние от центра окружности до любой точки окружности по определению равно радиусу.

Первое утверждение неверно: равенство диагоналей параллелограмма означает, что он является прямоугольником, но не обязательно квадратом.

Второе утверждение верно, поскольку сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Первое утверждение является верным: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

Второе утверждение неверно: окружность можно вписать только в прямоугольник, являющийся квадратом.

Утверждение 1 является верным по теореме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

Утверждение 2 неверно: у ромба равны стороны, а его углы могут быть различными.

В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$

Следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Если один из них острый, то другой является тупым, поэтому утверждение 1 неверно.

Прямоугольник является параллелограммом. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому утверждение 2 верно.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, поэтому первое утверждение ложно.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около треугольника окружности. Второе утверждение истинно.

Утверждение 1 неверно: если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они могут быть параллельными, а не перпендикулярными.

В равностороннем треугольнике все углы равны и составляют $60^\circ$, поэтому такой треугольник является остроугольным. Утверждение 2 истинно.

Проверим первое утверждение. Если сторона квадрата равна $a$, то его диагональ равна $a\sqrt{2}$, а произведение диагоналей равно $2a^2$, то есть в два раза больше площади квадрата.$$S=a^2,\quad d_1d_2=(a\sqrt{2})^2=2a^2$$

В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, в нём есть два равных угла.$$\angle A=\angle C,\quad \angle B=\angle D$$

Площадь треугольника, заключённого между сторонами $a$ и $b$, равна $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$. Так как $\sin\gamma \leq 1$, то $S \leq \dfrac{1}{2}ab < ab$. Первое утверждение истинно.$$S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma < ab$$

Через заданную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, поэтому второе утверждение ложно.

Первое утверждение неверно: в ромбе равны противоположные углы, а не все углы. Все углы равны только у квадрата.

Второе утверждение верно. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине развернутого угла.$$\angle = \dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

У прямоугольной трапеции диагонали вообще говоря не равны, поэтому утверждение 1 неверно.

Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, такой прямоугольник существует, и утверждение 2 истинно.

Проверим первое утверждение. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма углов прямоугольного треугольника не может быть равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Через одну точку можно провести три и более различных прямых. Второе утверждение истинно.