Задание 19 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Утверждение 1 истинно: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Утверждение 2 ложно: в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два других — острые.

Первое утверждение неверно: квадраты могут иметь разные длины сторон, поэтому их площади не обязаны быть равными.

Второе утверждение неверно: точка пересечения двух окружностей находится на расстояниях, равных радиусам этих окружностей. Радиусы могут быть различными.

Диагональ трапеции обычно делит её на два треугольника, но эти треугольники не обязательно равны. Утверждение 1 ложно.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а не гипотенузы к катету. Утверждение 2 ложно.$$\cos \alpha = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если бы каждый угол был больше $60^\circ$, сумма углов была бы больше $180^\circ$. Следовательно, хотя бы один угол не превышает $60^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником. Поэтому утверждение 2 истинно.$$d_1 = d_2 \Rightarrow \text{параллелограмм — прямоугольник}$$

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Первое утверждение неверно: в окружность можно вписать только параллелограмм, у которого противоположные углы равны одновременно и supplementary, то есть прямоугольник.

Второе утверждение неверно: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Первое утверждение неверно: площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$

Второе утверждение неверно: для пересечения окружностей важны также расстояние между центрами и сумма или разность радиусов.

У подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, поэтому утверждение 1 неверно.$$S_1:S_2=k^2$$

Прямоугольник является параллелограммом. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому утверждение 2 истинно.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому утверждение 1 является истинным.

В равнобедренном треугольнике не каждая биссектриса является медианой: таким свойством обладает биссектриса угла при вершине.

Первое утверждение неверно: в равнобедренном треугольнике биссектрисой и медианой одновременно является только биссектриса, проведённая к основанию. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, вообще говоря, медианами не являются.

Второе утверждение верно. Ромб является параллелограммом, а площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию.$$S = ah$$

Первое утверждение неверно: диагонали ромба не обязаны быть равными. Равные диагонали имеет, например, квадрат.

Второе утверждение неверно: если коэффициент подобия равен $k$, то отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$, а не $k$.$$\frac{S_1}{S_2}=k^2$$

Проверим первое утверждение. Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, такой прямоугольник существует.

Проверим второе утверждение. Если один угол ромба равен 90 градусам, то все его углы прямые. Ромб с прямыми углами является квадратом.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если бы каждый угол был больше $60^\circ$, сумма была бы больше $180^\circ$. Следовательно, хотя бы один угол не превышает $60^\circ$.$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, а не их сумме.$$m=\dfrac{a+b}{2}$$

По определению трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Эти стороны являются основаниями трапеции.

У ромба равны все стороны, но все углы равны только в частном случае, когда ромб является квадратом.

Первое утверждение неверно: если угол острый, то смежный с ним угол равен $180^\circ - \alpha$ и является тупым.

Второе утверждение верно: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то его стороны равны, следовательно, параллелограмм является ромбом.

Утверждение 1 истинно: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Утверждение 2 истинно: в параллелограмме противоположные стороны равны. Если две соседние стороны равны, то все четыре стороны равны, следовательно, параллелограмм является ромбом.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому утверждение 1 неверно.$$t \perp r$$

Ромб является параллелограммом. Диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому утверждение 2 верно.$$AO = OC,\quad BO = OD$$

Первое утверждение верно по признаку подобия треугольников: по трём парам равных углов треугольники подобны.$$A_1=A_2,\ B_1=B_2,\ C_1=C_2 \Rightarrow \triangle_1\sim\triangle_2$$

Второе утверждение неверно: диагонали ромба в общем случае не равны; равными они бывают, например, у квадрата.

В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны, поэтому его высоты имеют одинаковую длину. Утверждение 1 истинно.

Через одну точку можно провести не только три, но и бесконечно много прямых. Утверждение 2 истинно.

Утверждение 1 неверно: тангенс острого угла может быть больше единицы, например $\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$.$$\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$$

Утверждение 2 неверно: средняя линия трапеции равна половине суммы её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$