Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2{,}5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
Треугольник $AOD$ прямоугольный, поскольку стороны квадрата перпендикулярны. По теореме Пифагора:$$OA^2 = AD^2 + OD^2 = a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба образует с его стороной прямоугольный треугольник. Острый угол ромба равен:$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Выразим высоту через сторону ромба и синус острого угла:$$h = 14\sin 30^\circ = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$$
Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
- 1
Высоту, проведённую к стороне длиной 9, найдём по формуле площади параллелограмма.$$h_1 = \dfrac{S}{a} = \dfrac{54}{9} = 6$$
- 2
Высоту, проведённую к стороне длиной 18, найдём аналогично.$$h_2 = \dfrac{S}{b} = \dfrac{54}{18} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $30^\circ$ и $80^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть $x$ — угол при большем основании трапеции. Тогда угол при меньшем основании, прилежащий к той же боковой стороне, равен $180^\circ-x$.
- 2
Диагональ делит угол при меньшем основании. Так как одна часть этого угла равна $80^\circ$, другая часть равна $180^\circ-x-80^\circ=100^\circ-x$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $91^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 91^\circ = 89^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $220^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании попарно равны. Так как сумма двух углов равна $220^\circ$, это два равных тупых угла.$$2\alpha = 220^\circ$$
- 2
Находим величину тупого угла:$$\alpha = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $352^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как сумма двух углов равна $352^\circ$, каждый из этих равных углов равен:$$352^\circ : 2 = 176^\circ$$
- 2
Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$, поэтому меньший угол равен:$$180^\circ - 176^\circ = 4^\circ$$
Диагональ ромба равна 60, а его сторона равна 50. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина данной диагонали равна $60:2=30$.
- 2
Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Найдём половину второй диагонали:$$x=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{1600}=40$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $AC$ делит угол $A$ параллелограмма на два угла: $30^\circ$ и $45^\circ$.$$\angle A=30^\circ+45^\circ=75^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен разности между $180^\circ$ и углом $A$.$$\angle B=180^\circ-75^\circ=105^\circ$$
Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба выражается через сторону и синус угла между стороной и основанием.$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим известные значения стороны и угла:$$h = 4\sin 150^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$
Основания трапеции равны 8 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции пересекает её среднюю линию и делит её на два отрезка, равных половинам оснований трапеции.$$l_1=\frac{a}{2},\quad l_2=\frac{b}{2}$$
- 2
Вычислим длины получившихся отрезков:$$l_1=\frac{8}{2}=4,\quad l_2=\frac{17}{2}=8{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания, отсекает на большем основании отрезок, равный разности оснований.
- 2
Следовательно, меньшее основание равно разности данных отрезков:$$6 - 4 = 2$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $78^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $32^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому угол $A$ равен углу $D$:$$\angle A = \angle D = 78^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $32^\circ$, и угол между диагональю и основанием $AD$.$$\angle CAD = 78^\circ - 32^\circ = 46^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов прямоугольной трапеции равен $107^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два остальных угла являются внутренними односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Найдём второй непрямой угол:$$\beta = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 24$, $AB = 45$. Найдите $AC$.
- 1
Точка пересечения диагоналей прямоугольника делит каждую диагональ пополам.$$BD = 2BO$$
- 2
Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 24 = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 1 и 11. Найдите длину основания $BC$.
- 1
Высота из вершины $C$ делит основание $AD$ на отрезки длиной $11$ и $1$. В равнобедренной трапеции отрезок у вершины $D$ равен такому же боковому отрезку у вершины $A$.$$AD - BC = 1 + 1 = 2$$
- 2
Длина основания $AD$ равна сумме двух отрезков:$$AD = 11 + 1 = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 1 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, делится диагональю на два отрезка, равных половинам оснований трапеции.$$x_1 = \dfrac{1}{2}, \quad x_2 = \dfrac{17}{2}$$
- 2
Находим больший из полученных отрезков:$$x_2 = \dfrac{17}{2} = 8{,}5$$
Основания трапеции равны 6 и 14, а высота равна 8. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{6+14}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $2$ и $7$.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований распределяется поровну между двумя боковыми сторонами. Горизонтальная проекция диагонали равна сумме бокового отрезка и меньшего основания:$$x=\dfrac{7-2}{2}+2=4{,}5$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$, поэтому в образовавшемся прямоугольном треугольнике катеты равны. Следовательно, высота трапеции равна горизонтальной проекции диагонали:$$h=x=4{,}5$$
Один из углов ромба равен $24^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы ромба являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим больший угол ромба:$$\beta = 180^\circ - 24^\circ = 156^\circ$$