Бейінді математика ЕГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{3}(x+64)=4$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$x+64=3^4$$
2. 2
   Вычисляем значение степени и выражаем корень уравнения:$$x+64=81,\quad x=81-64=17$$

Угол между диаметрами окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $59^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $\angle ACB$ и $\angle AOB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 59^\circ = 118^\circ$$
2. 2
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $6^{x-5}=36$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $6$:$$36=6^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$x-5=2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $10$, угол $C$ равен $30^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   По теореме синусов сторона $AB$ выражается через радиус описанной окружности и противолежащий угол $C$.$$AB=2R\sin C$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$10=2R\sin 30^\circ=2R\cdot\frac12=R$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Центральный угол окружности

Найдите центральный угол, если он на $28^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим величину острого вписанного угла через $x$. Тогда центральный угол равен $x+28^\circ$.
2. 2
   Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного.$$x+28=2x$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{4\sin 41^\circ \cdot \cos 41^\circ}{\sin 82^\circ}$.

1. 1
   Применим формулу синуса двойного угла к произведению $\sin 41^\circ\cdot\cos 41^\circ$.$$\sin 82^\circ = 2\sin 41^\circ\cos 41^\circ$$
2. 2
   Преобразуем числитель выражения:$$4\sin 41^\circ\cos 41^\circ = 2\sin 82^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в треугольнике с биссектрисой

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $54^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $23^\circ$. Найдите величину угла $ADB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, угол $A$ треугольника $ABC$ равен удвоенному углу $BAD$.$$\angle A=2\angle BAD=2\cdot23^\circ=46^\circ$$
2. 2
   Найдём угол $B$ треугольника $ABC$ по сумме углов треугольника.$$\angle B=180^\circ-46^\circ-54^\circ=80^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вписанный угол окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $130^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому центральный угол $AOB$ является смежным с углом $AOD$:$$\angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $AOB$. Вписанный угол равен половине центрального:$$\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{50^\circ}{2} = 25^\circ$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98^\circ$, угол $CAD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ABD$.

1. 1
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина равна удвоенному вписанному углу.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot98^\circ=196^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot44^\circ=88^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Косинус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $BC = \sqrt{19}$. Найдите $\cos A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = 10$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt{81} = 9$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Углы вписанного четырёхугольника

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $110^\circ$ и $80^\circ$. Найдите бо́льший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный четырёхугольник обладает свойством: суммы его противоположных углов равны $180^\circ$.$$A+C=180^\circ,\quad B+D=180^\circ$$
2. 2
   Угол, противоположный углу $110^\circ$, равен:$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Периметр описанного четырёхугольника

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 14$, $CD = 17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.

1. 1
   Если в четырёхугольник вписана окружность, суммы длин его противоположных сторон равны:$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Вычислим сумму известных противоположных сторон:$$AB + CD = 14 + 17 = 31$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вписанный угол окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите величину вписанного угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $AOB$, поэтому он в два раза меньше центрального угла.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ$$

Площадь треугольника в параллелограмме

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $60$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.

1. 1
   Поскольку $E$ — середина стороны $AD$, длина отрезка $AE$ вдвое меньше длины $AD$:$$AE = \dfrac{AD}{2}$$
2. 2
   У параллелограмма $ABCD$ и треугольника $ABE$ общая высота к прямой $AB$. Основание треугольника $AE$ вдвое меньше основания параллелограмма $AD$, а площадь треугольника также содержит множитель $\dfrac{1}{2}$:$$S_{ABE} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{AE}{AD} \cdot S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 60$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с равными углами при вершинах $A$ и $B$.$$\angle A = \angle B = 73^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между биссектрисой и медианой

Острый угол прямоугольного треугольника равен. Найдите величину угла между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$. Направление медианы, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе, определяется отношением катетов и поэтому зависит от $\alpha$.
2. 2
   Биссектриса прямого угла образует с катетами углы по $45^\circ$. Поэтому угол между биссектрисой и медианой выражается через данный острый угол как $|45^\circ-\alpha|$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона описанного четырёхугольника

В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 24, вписана окружность, $AB = 5$. Найдите длину стороны $CD$.

1. 1
   В четырёхугольнике, в который вписана окружность, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Периметр состоит из двух равных сумм противоположных сторон, поэтому сумма $AB + CD$ равна половине периметра.$$AB + CD = \dfrac{24}{2} = 12$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вписанный угол окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $16^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными.$$OB \text{ и } OD \text{ — противоположные лучи}$$
2. 2
   Центральный угол $AOB$ является смежным с углом $AOD$.$$\angle AOB = 180^\circ - 16^\circ = 164^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение тангенса угла

Найдите значение выражения $\tg\alpha$, если $\cos\alpha = \dfrac{5\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha \in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$.

1. 1
   Так как $\alpha \in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$, синус угла положителен. Найдём его из основного тригонометрического тождества.$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{5\sqrt{26}}{26}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{25}{26}} = \dfrac{1}{\sqrt{26}}$$
2. 2
   Вычислим тангенс как отношение синуса к косинусу.$$\tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{1/\sqrt{26}}{5/\sqrt{26}} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $4^{\frac{1}{5}} \cdot 16^{\frac{9}{10}}$.

1. 1
   Представим основания степеней в виде степеней двойки:$$4^{\frac{1}{5}} \cdot 16^{\frac{9}{10}} = (2^2)^{\frac{1}{5}} \cdot (2^4)^{\frac{9}{10}}$$
2. 2
   Применим свойство степени степени и сложим показатели степеней с одинаковым основанием:$$2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{36}{10}} = 2^{\frac{2}{5}+\frac{18}{5}} = 2^4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде