01ФИПИ C1F1E2№ 1Повышенная Найдите значение выражения $4^{\frac{1}{5}} \cdot 16^{\frac{9}{10}}$.
- 1
Представим основания степеней в виде степеней двойки:$$4^{\frac{1}{5}} \cdot 16^{\frac{9}{10}} = (2^2)^{\frac{1}{5}} \cdot (2^4)^{\frac{9}{10}}$$
- 2
Применим свойство степени степени и сложим показатели степеней с одинаковым основанием:$$2^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{36}{10}} = 2^{\frac{2}{5}+\frac{18}{5}} = 2^4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
02ФИПИ CCEA21№ 1Повышенная Найдите значение выражения $\dfrac{81^{2{,}6}}{9^{3{,}7}}$.
- 1
Представим $81$ и $9$ как степени числа $3$:$$81 = 3^4,\quad 9 = 3^2$$
- 2
Применим правило возведения степени в степень:$$\frac{81^{2{,}6}}{9^{3{,}7}} = \frac{(3^4)^{2{,}6}}{(3^2)^{3{,}7}} = \frac{3^{10{,}4}}{3^{7{,}4}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение выражения $\dfrac{(3\sqrt{8})^2}{6}$.
- 1
Возведём произведение в квадрат:$$(3\sqrt{8})^2=3^2\cdot(\sqrt{8})^2=9\cdot8=72$$
- 2
Разделим полученное значение на 6:$$\dfrac{72}{6}=12$$
04ФИПИ 0E5270№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\left(64^9\right)^3 : \left(16^5\right)^8$.
- 1
Представим числа $64$ и $16$ как степени двойки:$$64 = 2^6,\quad 16 = 2^4$$
- 2
Применим правило возведения степени в степень:$$\left(64^9\right)^3 : \left(16^5\right)^8 = \left(2^6\right)^{9\cdot 3} : \left(2^4\right)^{5\cdot 8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
05ФИПИ 224219№ 8Повышенная Найдите значение выражения $5^{0{,}06} \cdot 25^{0{,}97}$.
- 1
Представим число $25$ как $5^2$:$$5^{0{,}06} \cdot 25^{0{,}97} = 5^{0{,}06} \cdot (5^2)^{0{,}97}$$
- 2
Применим свойства степеней:$$5^{0{,}06} \cdot (5^2)^{0{,}97} = 5^{0{,}06} \cdot 5^{1{,}94} = 5^{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
06ФИПИ 330712№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\dfrac{14^{6,4}\cdot 7^{-5,4}}{2^{4,4}}$.
- 1
Представим $14$ в виде произведения $2\cdot 7$ и раскроем степень произведения.$$14^{6,4}=(2\cdot 7)^{6,4}=2^{6,4}\cdot 7^{6,4}$$
- 2
Объединим степени с основанием $7$.$$7^{6,4}\cdot 7^{-5,4}=7^{6,4-5,4}=7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
07ФИПИ 334A92№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}$.
- 1
Объединим корни с одинаковым показателем.$$\dfrac{\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}=\sqrt[4]{\dfrac{8\cdot48}{24}}$$
- 2
Вычислим подкоренное выражение.$$\dfrac{8\cdot48}{24}=16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
08ФИПИ 41CD19№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\left(4^{15}\right)^5 : 4^{73}$.
- 1
По правилу возведения степени в степень преобразуем первую часть выражения.$$\left(4^{15}\right)^5 = 4^{15 \cdot 5} = 4^{75}$$
- 2
При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$4^{75} : 4^{73} = 4^{75-73} = 4^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
09ФИПИ 572E60№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt[3]{400}\cdot\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{80}}$.
- 1
Объединим все кубические корни в один:$$\dfrac{\sqrt[3]{400}\cdot\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{80}}=\sqrt[3]{\dfrac{400\cdot25}{80}}$$
- 2
Вычислим выражение под корнем:$$\dfrac{400\cdot25}{80}=125$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение выражения $6\log_{7}\sqrt[3]{7}$.
- 1
Представим кубический корень как степень:$$\sqrt[3]{7}=7^{\frac{1}{3}}$$
- 2
Применим основное свойство логарифма:$$\log_7\left(7^{\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
11ФИПИ 61C181№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\dfrac{3^{9{,}2}}{9^{2{,}6}}$.
- 1
Представим основание знаменателя в виде степени числа $3$:$$9^{2{,}6} = (3^2)^{2{,}6} = 3^{5{,}2}$$
- 2
Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{3^{9{,}2}}{3^{5{,}2}} = 3^{9{,}2-5{,}2} = 3^4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
12ФИПИ 68CF2D№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}$.
- 1
Запишем корни в виде степеней с дробными показателями.$$\dfrac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}=36^{\frac{1}{3}}\cdot36^{\frac{1}{5}}\cdot36^{-\frac{1}{30}}$$
- 2
Сложим показатели степени.$$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=\frac{10+6-1}{30}=\frac{1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
13ФИПИ 7AC894№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt[3]{121}\cdot\sqrt[4]{121}}{\sqrt[12]{121}}$.
- 1
Запишем арифметические корни как степени:$$\dfrac{\sqrt[3]{121}\cdot\sqrt[4]{121}}{\sqrt[12]{121}}=121^{\frac{1}{3}}\cdot121^{\frac{1}{4}}\cdot121^{-\frac{1}{12}}$$
- 2
Сложим показатели степени:$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{4+3-1}{12}=\frac{1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение выражения $\dfrac{(5\sqrt{6})^2}{10}$.
- 1
Возведём произведение в квадрат:$$(5\sqrt{6})^2=5^2(\sqrt{6})^2$$
- 2
Упростим выражение:$$\dfrac{(5\sqrt{6})^2}{10}=\dfrac{25\cdot 6}{10}=15$$
15ФИПИ 91B7CF№ 8Повышенная Найдите значение выражения $\left(\sqrt{96}-\sqrt{24}\right)\cdot\sqrt{6}$.
- 1
Разложим подкоренные выражения на произведения, содержащие полный квадрат:$$\sqrt{96}=\sqrt{16\cdot 6}=4\sqrt{6},\quad \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$$
- 2
Подставим полученные выражения и упростим:$$\left(4\sqrt{6}-2\sqrt{6}\right)\cdot\sqrt{6}=2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=2\cdot 6=12$$
16ФИПИ 95FEEB№ 8Повышенная Найдите значение выражения $(2^{16})^5 : 2^{74}$.
- 1
Преобразуем степень в скобках по правилу возведения степени в степень.$$(2^{16})^5 = 2^{16 \cdot 5} = 2^{80}$$
- 2
При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$2^{80} : 2^{74} = 2^{80-74} = 2^6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе…
- 1
Пусть первоначально в школе № 1 было $n$ учащихся, а перешедший учащийся набрал $x$ баллов. Сумма баллов в этой школе равна $18n$. После перехода учащихся стало $n-1$, а средний балл увеличился на 10% и стал равен $19{,}8$.$$18n-x=19{,}8(n-1)$$
- 2
Выразим количество баллов перешедшего учащегося:$$x=18n-19{,}8(n-1)=\frac{99-9n}{5}=\frac{9(11-n)}5$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
- 1
Пусть числа расположены в порядке возрастания: $x_1 < x_2 < \dots < x_{10}$. По условию сумма шести наименьших чисел равна $30$, а сумма шести наибольших — $90$.$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=30,\quad x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=90$$
- 2
а) Если $x_1=3$, то пять следующих чисел — различные натуральные числа, большие 3. Их наименьшая возможная сумма равна $4+5+6+7+8=30$. Тогда сумма шести наименьших чисел была бы не менее $3+30=33$, что противоречит условию.$$3+4+5+6+7+8=33>30$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
Из правильной несократимой дроби $\dfrac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\dfrac{a+b}{2a+b}$. а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\dfrac{1}{3}$…
- 1
Пусть после одного хода из дроби $\dfrac{a}{b}$ получена дробь $\dfrac{c}{d}$. Тогда $c=a+b$, $d=2a+b$. Вычитая первое равенство из второго и подставляя результат, получаем обратное преобразование:$$\frac{a}{b}=\frac{d-c}{2c-d}$$
- 2
Для пункта а) последовательно применяем обратное преобразование:$$\frac{22}{31}\to\frac{31-22}{2\cdot22-31}=\frac{9}{13}\to\frac{13-9}{2\cdot9-13}=\frac45\to\frac{5-4}{2\cdot4-5}=\frac13$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих…
- 1
Обозначим числа в порядке возрастания: $x_1<x_2<\dots<x_{11}$. Из условий получаем суммы шести наименьших и шести наибольших чисел:$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=6\cdot5=30,\quad x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}+x_{11}=6\cdot15=90$$
- 2
а) Если бы наименьшее число равнялось 3, то шесть различных натуральных чисел были бы не меньше чем $3,4,5,6,7,8$. Их сумма не меньше 33, что противоречит сумме 30. Значит, наименьшее число не может равняться 3.
Ещё 5 шагов — в полном решении