Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Производная функции» — с ответами

Наибольшее значение функции

Найдите наибольшее значение функции $y = 7 + 12x - 4x\sqrt{x}$ на отрезке $[0; 12]$.

1. 1
   Найдём производную функции на отрезке $[0; 12]$.$$y' = 12 - 4\cdot\frac{3}{2}\sqrt{x} = 12 - 6\sqrt{x}$$
2. 2
   Найдём критическую точку:$$12 - 6\sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = 2x^2 - 23x + 33\cdot\ln x - 17$.

1. 1
   Область определения функции: $x > 0$. Найдём производную.$$y' = 4x - 23 + \dfrac{33}{x}$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и умножим уравнение на $x > 0$.$$4x - 23 + \dfrac{33}{x} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2 - 23x + 33 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Положительная производная по графику

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Найдите количество отмеченных точек, в…

1. 1
   Производная функции положительна в тех отмеченных точках, где график возрастает, то есть при движении слева направо поднимается.$$f'(x)>0$$
2. 2
   По графику подсчитываем отмеченные точки, расположенные на возрастающих участках. Их пять.$$N=5$$

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = 9x - 9 \cdot \ln(x + 3) + 4$.

1. 1
   Область определения функции: $x > -3$. Найдём производную.$$y' = 9 - \dfrac{9}{x + 3}$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и решим уравнение.$$9 - \dfrac{9}{x + 3} = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число точек экстремума

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-20;4)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-16;1]$.

1. 1
   Для нахождения точек экстремума необходимо исследовать нули производной $f'(x)$ и определить смену знака производной в каждом из них.$$f'(x)=0$$
2. 2
   На приложенном изображении присутствует только текст условия; сам график производной $y=f'(x)$ не отображён. Поэтому число точек экстремума на отрезке $[-16;1]$ определить нельзя.

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = 3x - 3 \cdot \ln(x - 7) - 8$.

1. 1
   Область определения функции: $x > 7$. Найдём производную.$$y' = 3 - \dfrac{3}{x - 7}$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и решим уравнение.$$3 - \dfrac{3}{x - 7} = 0 \Rightarrow x - 7 = 1 \Rightarrow x = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Знак производной по графику

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная…

1. 1
   Производная функции отрицательна в тех точках, где функция убывает, то есть график при движении слева направо направлен вниз.$$f'(x)<0$$
2. 2
   По графику отмечаем точки, расположенные на убывающих участках функции. Таких отмеченных точек три.

Наибольшее значение функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-9;3)$. В какой точке отрезка $[-7;-5]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

1. 1
   По графику производной определяем характер изменения функции на отрезке $[-7;-5]$.
2. 2
   На этом отрезке функция $f(x)$ убывает, поэтому её наибольшее значение достигается в левой конечной точке отрезка.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее значение функции

Найдите наибольшее значение функции $y = 9\ln(x+7) - 9x + 4$ на отрезке $[-6{,}5; 0]$.

1. 1
   Найдём производную функции:$$y' = \frac{9}{x+7} - 9$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю:$$\frac{9}{x+7} - 9 = 0 \Rightarrow x+7=1 \Rightarrow x=-6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Промежутки возрастания функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$. Сколько из этих точек…

1. 1
   По признаку монотонности функция $f(x)$ возрастает в тех точках и на тех промежутках, где $f'(x)>0.$$f'(x)>0$$
2. 2
   Для подсчёта требуется график производной с отмеченными точками $x_1,\ldots,x_9$. В предоставленном изображении график отсутствует.

Убывание функции по производной

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$. Сколько из этих точек…

1. 1
   Функция $f(x)$ убывает на тех промежутках, где выполняется условие $f'(x)<0$.$$f'(x)<0$$
2. 2
   Чтобы получить численный ответ, необходимо по рисунку определить, какие из точек $x_1,\ldots,x_9$ расположены на участках графика производной ниже оси абсцисс. В предоставленном изображении сам график отсутствует, поэтому число таких…

Минимум функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции $y = 9x - 9\ln(x + 11) + 7$ на отрезке $[-10{,}5; 0]$.

1. 1
   Найдём производную функции:$$y' = 9 - \dfrac{9}{x+11} = \dfrac{9(x+10)}{x+11}$$
2. 2
   На отрезке $[-10{,}5; 0]$ производная обращается в ноль при $x=-10$. До этой точки функция убывает, после неё возрастает, поэтому в точке $x=-10$ достигается минимум.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наименьшая производная функции

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $1$, $2$, $3$, $4$. В какой из этих точек значение производной функции $f(x)$ наименьшее? Укажите эту точку.

1. 1
   Чтобы сравнить значения производной, нужно определить наклон касательной к графику функции в точках $1$, $2$, $3$ и $4$.
2. 2
   Наименьшее значение производной соответствует точке, в которой касательная имеет наименьший угловой коэффициент.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка максимума функции

Найдите точку максимума функции $y = 15 + 24x - x^{\frac{3}{2}}$.

1. 1
   Найдём производную функции:$$y' = 24 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю:$$24 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Угловой коэффициент находят по координатам двух точек касательной.$$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число отрицательных производных

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. В ответе укажите количество точек из…

1. 1
   Производная функции отрицательна в тех отмеченных точках, где график функции убывает.$$f'(x_i)<0$$
2. 2
   На предоставленном изображении график функции и отмеченные точки на оси абсцисс отсутствуют, поэтому определить их количество невозможно.

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 20x^2 + 100x + 23$.

1. 1
   Найдём производную функции.$$y' = 3x^2 - 40x + 100$$
2. 2
   Определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$.$$3x^2 - 40x + 100 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точка максимума функции

Найдите точку максимума функции $y = 9 \cdot \ln(x - 4) - 9x - 7$.

1. 1
   Область определения функции: $x > 4$. Найдём производную.$$y' = \dfrac{9}{x - 4} - 9$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и решим уравнение.$$\dfrac{9}{x - 4} - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x - 4 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 300x + 14$.

1. 1
   Найдём производную функции.$$y' = 3x^2 - 300$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и найдём критические точки.$$3x^2 - 300 = 0 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = -10,\ 10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = 5x - \ln\left((x+3)^5\right) + 6$.

1. 1
   Область определения функции: $x>-3$. Найдём производную.$$y' = 5 - \frac{5(x+3)^4}{(x+3)^5} = 5 - \frac{5}{x+3}$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю:$$5 - \frac{5}{x+3}=0 \quad \Longrightarrow \quad x+3=1 \quad \Longrightarrow \quad x=-2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении