Задание 9 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Точка максимума кубической функции

Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 16x^2 + 64x + 12$.

1. 1
   Найдём производную функции.$$y' = 3x^2 + 32x + 64$$
2. 2
   Решим уравнение $y' = 0$.$$3x^2 + 32x + 64 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = 9x - \ln\left((x - 2)^9\right) - 8$.

1. 1
   Область определения функции задаётся условием $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.$$x > 2$$
2. 2
   Найдём производную функции.$$y' = 9 - \frac{9}{x - 2} = \frac{9(x - 3)}{x - 2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Чтобы найти $k$, нужны координаты хотя бы двух точек касательной. На предоставленном скриншоте график отсутствует, поэтому численное значение производной определить невозможно.$$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Наименьшее значение производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-2$, $-1$, $3$, $4$. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x)=k$$
2. 2
   Наименьшее значение производной соответствует наиболее круто направленной вниз касательной. По графику это точка $x=-1$.$$f'(-1)<f'(-2),\ f'(-1)<f'(3),\ f'(-1)<f'(4)$$

Знак производной по графику

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено семь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции…

1. 1
   Производная функции положительна в точке, если функция возрастает в окрестности этой точки.$$f'(x)>0 \Longleftrightarrow f(x)\text{ возрастает}$$
2. 2
   По графику отмечаем точки, расположенные на возрастающих участках. Таких отмеченных точек четыре.

Количество точек экстремума

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-19;3)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-17;-4]$.

1. 1
   Точки экстремума функции $f(x)$ возможны в точках, где $f'(x)=0$ или производная не существует.
2. 2
   По графику производной нужно найти нули $f'(x)$ на отрезке $[-17;-4]$ и оставить только те, где производная меняет знак.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точки максимума функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-15;5)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-11;4]$.

1. 1
   Функция $f(x)$ возрастает там, где $f'(x)>0$, и убывает там, где $f'(x)<0$.
2. 2
   Точки максимума находятся в местах, где производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка максимума кубической функции

Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 147x + 19$.

1. 1
   Найдём производную функции:$$y' = 3x^2 - 147$$
2. 2
   Определим критические точки:$$3x^2 - 147 = 0 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x = -7,\ 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = 2x^{\frac{3}{2}} - 21x + 16$.

1. 1
   Область определения функции: $x \geq 0$. Найдём производную:$$y' = 3\sqrt{x} - 21$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю:$$3\sqrt{x} - 21 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 7 \Rightarrow x = 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = 2x^{\frac{3}{2}} - 15x + 21$.

1. 1
   Найдём производную функции:$$y' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 15 = 3\sqrt{x} - 15$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и найдём критическую точку:$$3\sqrt{x} - 15 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка максимума логарифмической функции

Найдите точку максимума функции $y = 10 \cdot \ln(x - 2) - 10x + 11$.

1. 1
   Область определения функции: $x > 2$.
2. 2
   Найдём производную и приравняем её к нулю.$$y' = \dfrac{10}{x - 2} - 10 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точка максимума функции

Найдите точку максимума функции $y = x^2 - 33x + 136 \cdot \ln x + 74$.

1. 1
   Область определения функции задаётся условием $x > 0$.
2. 2
   Найдём производную функции.$$y' = 2x - 33 + \frac{136}{x}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точка максимума функции

Найдите точку максимума функции. Формула функции в предоставленном условии не отображается.

1. 1
   В условии отсутствует формула функции, поэтому её производную найти нельзя.
2. 2
   Без производной невозможно определить критические точки и точку максимума.$$f'(x)=0$$

Минимум функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции $y=x\sqrt{x}-9x+25$ на отрезке $[1; 50]$.

1. 1
   Найдём производную функции.$$y'=\left(x\sqrt{x}-9x+25\right)'=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-9$$
2. 2
   Найдём критическую точку, приравняв производную к нулю.$$\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-9=0,\quad \sqrt{x}=6,\quad x=36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = (8x^2 - 40x + 40)e^{x+4}$.

1. 1
   Применим правило производной произведения:$$y' = (16x - 40)e^{x+4} + (8x^2 - 40x + 40)e^{x+4}$$
2. 2
   Вынесем общий множитель и упростим выражение:$$y' = e^{x+4}(8x^2 - 24x) = 8x(x-3)e^{x+4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка максимума функции

Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 30x^2 + 225x + 23$.

1. 1
   Найдём производную функции:$$y' = 3x^2 + 60x + 225$$
2. 2
   Разложим производную на множители и найдём критические точки:$$y' = 3(x^2 + 20x + 75) = 3(x + 15)(x + 5)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Наименьшее значение функции

Найдите наименьшее значение функции $y = 10\cos x - 14x + 5$ на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$.

1. 1
   Найдём производную функции.$$y' = -10\sin x - 14$$
2. 2
   Так как $\sin x \geq -1$, имеем $y' \leq 10 - 14 = -4 < 0$. Следовательно, функция убывает на всём заданном отрезке.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = x\sqrt{x} - 3x + 17$.

1. 1
   Область определения функции: $x \geqslant 0$. Найдём производную.$$y' = \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 3$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и решим уравнение.$$\dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x} = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка максимума логарифмической функции

Найдите точку максимума функции $y=\ln\left((x+3)^7\right)-7x-9$.

1. 1
   Область определения функции: $x>-3$. Представим логарифм в виде $7\ln(x+3)$ и найдём производную.$$y'=\frac{7}{x+3}-7$$
2. 2
   Найдём критическую точку:$$\frac{7}{x+3}-7=0 \quad\Longrightarrow\quad x+3=1 \quad\Longrightarrow\quad x=-2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Положительная производная на графике

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная…

1. 1
   Производная функции в точке положительна, если график функции возрастает в окрестности этой точки.$$f'(x)>0$$
2. 2
   По графику среди отмеченных точек выбираем точки, в которых касательная имеет положительный наклон.

Ещё 1 шаг — в полном решении