Задание 20 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Обозначим через $k_i$ количество чисел в $i$-й день, а через $S_i$ — сумму этих чисел. Тогда $k_1>k_2>\dots>k_n\geq 1$, $S_1<S_2<\dots<S_n$, а поскольку каждое число не больше $5$, имеем $S_i\leq 5k_i$.

а) Да, $n$ может быть любым, в частности больше $5$. Для заданного $n$ возьмём $k_i=m+n-i$, где $m$ достаточно велико, и $S_i=m+n-1+i$. Тогда количества строго убывают, суммы строго возрастают, а при достаточно большом $m$ выполняются…

Обозначим сумму цифр каждого слагаемого через $s$. По признаку делимости на 9 любое число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9.$$a\equiv s\pmod 9,\quad b\equiv s\pmod 9$$

Для пункта а) достаточно предъявить подходящее разложение:$$2043=1089+954$$

Число, кратное $45$, должно быть кратно $5$ и $9$. Поэтому одно из составляемых чисел оканчивается на $0$, а другое — на $5$.

Сумма всех использованных цифр равна $0+1+2+3+5+7+9=27$. Поэтому сумма цифр каждого из двух чисел должна быть кратна $9$.

Обозначим остаток числа, стоящего на $i$-м месте, при делении на 3 через $a_i$. Из делимости любых четырёх соседних чисел получаем$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0\pmod 3$$

Для следующей четвёрки имеем аналогичное равенство. Вычитая первое равенство из второго, получаем$$a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}-(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3})\equiv 0\pmod 3$$

Упорядочим числа: $x_1<x_2<\dots<x_{10}$. По условию сумма шести наименьших чисел равна $6\cdot6=36$, а сумма шести наибольших — $12\cdot6=72$.$$x_1+\dots+x_6=36,\qquad x_5+\dots+x_{10}=72$$

Суммы первых шести и последних шести чисел вместе содержат числа $x_5$ и $x_6$ дважды, а остальные — по одному разу. Поэтому сумма всех десяти чисел равна $108-(x_5+x_6)$.$$S=108-(x_5+x_6)$$

Пусть в школе № 2 первоначально было $n$ учащихся, а перешедший учащийся набрал $x$ баллов. После перехода средний балл в школе № 2 уменьшился на 10%, поэтому стал равен $42 \cdot 0{,}9=37{,}8$.$$42n+x=37{,}8(n+1)$$

Выразим количество баллов перешедшего учащегося:$$x=37{,}8-4{,}2n=\frac{21(9-n)}{5}$$

Пусть $a<b<c$ — числа тройки. Для наименьшего числа условие имеет вид $a\ge\dfrac{b+c}{3}+5$, то есть $3a\ge b+c+15$. Для двух остальных чисел это условие автоматически слабее, поскольку они больше $a$.$$3a\ge b+c+15$$

а) Для тройки $50,60,n$, где $n>60$, получаем $3\cdot50\ge60+n+15$. Следовательно, $n\le75$. Поэтому $n$ может принимать значения от 61 до 75 включительно.$$150\ge60+n+15\quad\Longrightarrow\quad n\le75$$

Обозначим количество синих карточек через $b$, а количество красных карточек через $r$. Тогда наибольшее число на синей карточке равно $r$, а наибольшее число на красной карточке равно $2b$.

Так как число $r$ написано на синей карточке и делится на 5, число $r$ положительно и делится на 5. Числа, кратные 5, от $-120$ до $r$, образуют последовательность $-115,-110,\ldots,r$. Их количество равно $\frac{r+120}{5}$. Поэтому…

Пусть в школе №1 было $n$ учащихся, а в школе №2 — $9-n$ учащихся, где $2 \leq n \leq 7$. Пусть первоначальные средние баллы равны соответственно $a$ и $b$, а балл переведённого учащегося равен $x$.

Для пунктов б) и в) средние баллы в обеих школах уменьшились на 10%. После перевода в школе №1 стало $n-1$ учащихся, поэтому$$\frac{na-x}{n-1}=\frac{9a}{10}$$

Расположим числа на доске в порядке возрастания: $a_1<a_2<\dots<a_n$. Тогда произведение двух наименьших чисел должно быть больше 25, а произведение двух наибольших — меньше 85.$$a_1a_2>25,\qquad a_{n-1}a_n<85$$

Для пяти чисел рассмотрим набор $5,6,7,8,10$. Произведение двух наименьших равно $30>25$, а произведение двух наибольших равно $80<85$. Все остальные попарные произведения находятся между ними, поэтому условие выполнено.$$5\cdot6=30>25,\qquad 8\cdot10=80<85$$

Пять чисел возможны: возьмём числа $6,7,8,9,10$. Наименьшее произведение равно $6\cdot7=42>40$, а наибольшее — $9\cdot10=90<100$. Значит, для любых двух выбранных чисел произведение лежит между $40$ и $100$.

Докажем, что шесть чисел невозможны. Пусть числа упорядочены: $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$. Из условия $a_1a_6<100$ и $a_5a_6<100$. Для достаточно больших значений $a_1$ допустимый интервал для остальных чисел слишком узок, а при малых…

Пусть $b$ — количество синих карточек, а $r$ — количество красных карточек. По условию наибольшее число на синей карточке равно $r$, поэтому $r$ является числом, кратным 3. Наибольшее число на красной карточке равно $2b$.

Все синие числа — различные числа, кратные 3, большие $-36$ и не превосходящие $r$. Это числа $-33,-30,\ldots,r$. Их количество равно $\dfrac{r+33}{3}+1=\dfrac{r}{3}+12$. Поэтому $b\leq \dfrac{r}{3}+12$.

Обозначим через $n$ число учащихся в школе №1, через $m$ — число учащихся в школе №2. Тогда $n+m=51$, $n,m\geq 2$. Пусть первоначальные средние баллы равны соответственно $A$ и $B$, а балл перешедшего учащегося равен $x$.

Для пункта а) если средний балл в школе №1 увеличился в 2 раза, то$$\frac{nA-x}{n-1}=2A,\quad x=A(2-n)$$

Пусть $a$ и $b$ — любые два записанных числа. Выберем ещё $k-1$ чисел, где $k\in\{3,4,5,6\}$. Средние арифметические набора, содержащего $a$, и набора, содержащего $b$, являются целыми, поэтому суммы обоих наборов делятся на $k$. Их…

Таким образом, любые два записанных числа сравнимы по модулю $3$, $4$, $5$ и $6$. Поэтому они сравнимы по модулю $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)=60$.