Числа с общим остатком
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033. а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303? б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31? в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа Найдите наименьшее возможное значение | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Сравните суммы двух наборов из $k$ чисел, отличающихся только одним числом, для $k=3,4,5,6$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из условия следует, что любые два записанных числа сравнимы по модулю каждого из чисел $3,4,5,6$, а значит, и по модулю $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)=60$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Все числа имеют остаток $30\,033\equiv33\pmod{60}$. Для пункта в) необходимо найти наименьшее $n>1$, для которого $n^2\cdot33\equiv33\pmod{60}$, то есть $n^2\equiv1\pmod{20}$.